Свойство отсутствия последействия характеризуется тем что

Простейший поток событий

Рассмотрим события, которые наступают в случайные моменты времени.

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Примерами потоков служат: поступление вызовов на АТС, на пункт неотложной медицинской помощи, прибытие самолетов в аэропорт, клиентов на предприятие бытового обслуживания, последовательность отказов элементов и многие другие.

Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом различные промежутки времени предполагаются непересекающимися. Например, вероятности появления k событий на промежутках времени (1;7), (10;16), (T; T+ 6) одинаковой длительности t = 6 ед. времени равны между собой.

Итак, если поток обладает свойством стационарности, то вероятность появления k событий за промежуток времени длительности t есть функция, зависящая только от k и t.

Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, условная вероятность появления k событий на любом промежутке времени, вычисленная при любых предположениях о том, что происходило до начала рассматриваемого промежутка (сколько событий появилось, в какой последовательности), равна безусловной вероятности. Таким образом, предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в ближайшем будущем.

Итак, если поток обладает свойством отсутствия последействия, то имеет место взаимная независимость появлений того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени.

Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления только одного события.

Итак, если поток обладает свойством ординарности, то за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.

Интенсивностью потока 𝞴 называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время длительностью t определяется формулой Пуассона

Эта формула отражает все свойства простейшего потока:

— вероятность появления k событий за время t, при заданной интенсивности является функцией k и t, что характеризует свойство стационарности;

— формула не использует информации о появлении событий до начала рассматриваемого промежутка, что характеризует свойство отсутствия последействия;

— при малых значениях t вероятность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события, что характеризует свойство ординарности.

Итак, формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.

Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятности того, что за 5 мин поступит: а) 2 вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов. Поток вызовов предполагается простейшим.

Источник

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Свойство отсутствия последействия состоит в том, что вероятность появления k событий в любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, предыстория потока не влияет на вероятности появления событий в ближайшем будущем. [1]

Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, условная вероятность появления k событий на любом промежутке времени, вычисленная при любых предположениях о том, что происходило до начала рассматриваемого промежутка ( сколько событий появилось, в какой последовательности), равна безусловной вероятности. Таким образом, предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в ближайшем будущем. [4]

Свойство отсутствия последействия утверждает независиыоств приращений нашей функции в неперекрывающихся интервалах, в то время как свойство однородности говорит о постоянстве закона распределения приращений нашей функции во всех интервалах равной длины. [5]

Регулярный поток свойством отсутствия последействия не обладает, поскольку последействие в нем порождается его регулярностью. [7]

Интересно отметить, что свойство отсутствия последействия является характеристическим для показательного распределения. [10]

Интересно отметить, что среди всех дискретных распределений свойством отсутствия последействия обладает только геометрическое распределение. [14]

Источник

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Условие отсутствия последействия является наиболее существенным для простейшего потока. Выполнение этого условия означает, что заявки поступают в систему независимо друг от друга. Например, можно сказать, что последействие отсутствует для потока пассажиров, входящих в метро, так как отсутствует зависимость между причинами, вызвавшими приход каждого из: пассажиров на станцию. Но как только эта зависимость появляется, условие отсутствия последействия нарушается. [17]

Поэтому вследствие отсутствия последействия и стационарности ( ординарность даже не требуется. [24]

Потоком с отсутствием последействия называется такой поток, у которого число заявок, поступивших в данный момент, не зависит от числа заявок, обслуженных в предыдущий момент. [25]

Регулярный поток свойством отсутствия последействия не обладает, поскольку последействие в нем порождается его регулярностью. [26]

Иначе, условие отсутствия последействия выражает взаимную независимость отказов, т.е. отказы являются событиями случайными и независимыми. [27]

Быстрота мышечного сокращения и отсутствие последействия обусловлены способом вызывания сухожильного рефлекса. Адекватным раздражителем для соответствующих рецепторов является растяжение мышцы. Постукивание по сухожилию растягивает мышцу только на очень краткий срок. [29]

Источник

Стационарностью, «отсутствием последействия» и ординарностью

Свойство стационарностисостоит в том, что вероятность появления k событий в любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка времени и не зависит от начала его отсчета. Другими словами, вероятность появления k событий за промежуток времени длительностью t есть функция, за висящая только от k и t.

Свойство «отсутствия последействия» состоит в том, что вероятность появления k событий в любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, предыстория потока не влияет на вероятности появления событий в ближайшем будущем.

Свойство ординарности состоит в том, что появление двух или более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного со бытия за малый промежуток времени пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления только одного события.

Интенсивностью потока X называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени. Если постоянная интенсивность потока % известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона

Интегральная теорема Лапласа. Имеет место следующее утверждение.

Однородный поток[править | править вики-текст]

Основная статья: Поток однородных событий

Поток заявок однороден, если:

· все заявки равноправны,

· рассматриваются только моменты времени поступления заявок, т.е. факты заявок без уточнения деталей каждой конкретной заявки.

Поток без последействия[править | править вики-текст]

Поток без последействия, если число событий любого интервала времени ( , ) не зависит от числа событий на любом другом непересекающемся с нашим ( , ) интервале времени.

Стационарный поток[править | править вики-текст]

Поток заявок стационарен, если вероятность появления n событий на интервале времени ( , ) не зависит от времени , а зависит только от длины этого участка.

Простейший поток[править | править вики-текст]

Однородный стационарный поток без последействий является простейшим, потоком Пуассона.

Число событий такого потока, выпадающих на интервал длины , распределено по Закону Пуассона:

Пуассоновский поток заявок удобен при решении задач ТМО. Строго говоря, простейшие потоки редки на практике, однако многие моделируемые потоки допустимо рассматривать как простейшие.

Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно значение из множества исходов, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Формальное математическое определение следующее: пусть — вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция ,измеримая относительно и борелевской σ-алгебры на . Вероятностное поведение отдельной (независимой от других) случайной величины полностью описывается её распределением.

Случайные величины могут принимать дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные значения. Соответственно случайные величины классифицируют на дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные (смешанные).

На схеме испытаний может быть определена как отдельная случайная величина (одномерная/скалярная), так и целая система одномерных взаимосвязанных случайных величин (многомерная/векторная).

· Пример смешанной случайной величины — время ожидания при переходе через автомобильную дорогу в городе на нерегулируемом перекрёстке.

· В бесконечных схемах (дискретных или непрерывных) уже изначально элементарные исходы удобно описывать количественно. Например, номера градаций типов несчастных случаев при анализе ДТП; время безотказной работы прибора при контроле качества и т. п.

· Числовые значения, описывающие результаты опытов, могут характеризовать не обязательно отдельные элементарные исходы в схеме испытаний, но и соответствовать каким-то более сложным событиям.

С одной стороны, с одной схемой испытаний и с отдельными событиями в ней одновременно может быть связано сразу несколько числовых величин, которые требуется анализировать совместно.

· Например, координаты (абсцисса, ордината) какого-то разрыва снаряда при стрельбе по наземной цели; метрические размеры (длина, ширина и т. д.) детали при контроле качества; результаты медобследования (температура, давление, пульс и пр.) при диагностике больного; данные переписи населения (по возрасту, полу, достатку и пр.).

Поскольку значения числовых характеристик схем испытания соответствуют в схеме некоторым случайным событиям (с их определёнными вероятностями), то и сами эти значения являются случайными (с теми же вероятностями). Поэтому такие числовые характеристики и принято называть случайными величинами. При этом расклад вероятностей по значениям случайной величины называется законом распределения случайной величины.

Случайная величина называется дискретной, если ее множество значений не более чем счетно, т.е. конечно или счётно.

Любое пространство элементарных событий не являющееся дискретным, называется недискретным, и при этом, если наблюдаемыми результатами (нельзя произносить случайными событиями) являются точки того или иного числового арифметического или координатного пространства, то пространство называетсянепрерывным (континуум). Пространство элементарных событий вместе с алгеброй событий и вероятностью образует тройку , которая называетсявероятностным пространством.

Законы распределения дискретных случайных величин.

Так как дискретная случайная величина имеет конечное или счётное множество значений, то их можно просто перечислить и указать соответствующие вероятности. Это можно сделать, например, в форме таблицы

X	x1	x2	.	xn	.
P	p1	p2	pn

Такую таблицу называют рядом распределения.

События … несовместимы и в результате опыта одно из них обязательно происходит. Из этого следует

Для наглядности ряд распределения можно изобразить геометрически.

Для этого из каждой точки откладывают вверх отрезок равный .На рисунке изображен многоугольник распределения.

Примеры дискретных сл.вел: 1). Индикатор события I. Эта случайная величина имеет закон распределения : Если вероятность появления события в некотором опыте равна p, то I принимает значение 1, если событие произошло, и значение 0, если событие не произошло. I можно назвать числом появлений события в одном опыте.

2). Биномиальный закон распределения. Случайная величина может принимать значения 0,1,2,…,n и каждому значению X=m соответствует вероятность , где p+q=1. Этот закон распределения считается заданным, если известны числа n и p, через которые выражаются все вероятности. Случайную величину подчинённою этому закону можно назвать числом появлении события в n независимых опытах.

4). Гипергеометрический закон распределения. Возможные значения X: 0,1,…,n. И каждому значению X=m соответствует вероятность P(X=m)=P = . Эта случайная величина, например, равна числу m бракованных изделий среди n взятых наугад из партии объёма N, содержащей M бракованных изделий.

5). Геометрический закон распределения.

X	…	n	…
P	p	qp		…		…

Если, например, p – вероятность изготовления бракованной детали, то случайная величина X с этим законом распределения будет равна общему числу деталей до момента изготовления первой бракованной детали.

Построение ряда распределения удобно лишь для дискретных случайных величин, так как можно перечислить их все возможные значения.

Распределения дискретных случайных величин

(21)

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Экспоненциальное распределение и его свойства

Экспоненциальное распределение играет важную роль в задачах телекоммуникации, так как позволяет моделировать интервалы времени между наступлением событий.

Из экспоненциальных величин строятся другие важные величины, например, случайные величины, имеющие распределение Эрланга.

Мы говорим, что случайная величина имеет экспоненциальное (показательное) распределение, если

(0)

Пусть – время ожидания события, тогда из формулы (0) следует, что вероятность того, что это событие наступит раньше x равна . Этот удобный формализм позволяет описывать моменты возникновения случайных событий.

Параметр λ оценивается на основе реальных данных.

Плотность экспоненциального распределения имеет вид

, (1)

где λ>0 —положительная постоянная, называемая параметром экспоненциального распределения.

Заметьте, экспоненциальное распределение сосредоточено на положительной полуоси.

Экспоненциальная случайная величина принимает положительные значения.

Среднее значение равно

Дисперсия равна

Из формулы (0) следует:

Иными словами, вероятность того, что следующее событие наступит через время больше , равна

Основные свойства экспоненциального распределения

Свойство отсутствия последействия:

Пусть — экспоненциальная случайная величина с плотностью вида (1).

Тогда (2)

Равенство (2) означает следующее.

Пусть некоторая элементарная операция (например, телефонный разговор) имеет случайную длительность с экспоненциальным распределением.

Пусть, далее, известно, что до момента данная операция продолжалась в течение t единиц времени.

Тогда остаток от момента до момента окончания операции имеет экспоненциальное распределение с параметром λ независимо от t.

Это важнейшее свойство экспоненциального распределения называется отсутствием последействия.

Отсутствие последействия называется также Марковским свойством.

Именно в силу этого свойства экспоненциальные модели имеют довольно простое аналитическое решение.

При малых положительных h: (3)

Действительно, по формуле Тейлора имеем:

Равенство (3) можно объяснить так.

Пусть в момент длится некоторая операция, имеющая случайную длительность с плотностью задаваемой формулой (1).

Тогда вероятность окончания данной операции в данном интервале ( t₀, t₀+h) равна .

Пусть в момент длятся n операций.

Рассмотрим случайные величины , где — время от момента до момента окончания i-ой фазы из этих операций, 1≤i≤n.

Если величины независимы и имеют экспоненциальное распределение с параметрами , 1≤i≤n, то:

а) имеет экспоненциальное распределение с параметром ;

б) если известно, что , то не зависимо от t≥0

, (4)

Доказательство

— свойство а) доказано.

В то же время (7)

Подставим выражения (6) и (7) в равенство (5), получим формулу (4).

Таким образом, утверждение б) также доказано.

Пусть выполнены те же условия, что и в формулировке предыдущего свойства.

Обозначим через число операций, которые закончатся в интервале ( t₀, t₀+h).

, (8)

, (9)

, (10)

, (11)

Доказательство. Событие ( ) эквивалентно событию , откуда

т.е. справедливость формулы (8) доказана.

Событие ( ) противоположно событию , откуда

— получена формула (10).

Далее можно записать , откуда

— формула (9) доказана.

Наконец, ,

откуда .

Подставляя в это равенство соотношения (9) и (10), найдем

Справедливость формулы (11) так же установлена.

При доказательстве формул дважды использована формула

Разумеется, следует проверить несовместимость событий .

В рассмотренных случаях она непосредственно очевидна.

Пусть выполнены условия предыдущего пункта и в момент окончания i-ой операции начинается одна или несколько новых операций, длительности которых независимы между собой, не зависят от ( ) и имеют экспоненциальное распределение.

Для доказательства, в дополнении к предыдущему, остаточно заметить, что событие ( ) сводится к выполнению одного или конечного числа неравенств вида , где , — независимые экспоненциально распределенные величины.

Имеем ,

где — параметры распределения , . Отсюда же следует что .

Обозначим через время от момента t₀ до момента окончания операции.

Тогда если случайная величина распределена по экспоненциальному закону с параметром λ, то

(12)

Доказательство

За время от t₀ до t₀+t может быть выполнено , ед. работы.

Значит, операции закончится за время, меньше t, при условии что .

В заключение сделаем замечание и дадим ряд задач для лучшего понимания свойств экспоненциальных величин.

Замечание

В случае дискретного времени аналогом экспоненциальной величины является геометрическая величина (случайная величина, имеющая геометрическое распределение).

Задача 1. Найти распределение максимума двух независимых экспоненциальных величин.

Задача 2. Найти распределение минимума двух независимых экспоненциальных величин.

Задача 3. Найти распределение суммы k независимых экспоненциальных величин.

Источник

Свойство отсутствия последействия характеризуется тем что

Простейший поток событий

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Стационарностью, «отсутст­вием последействия» и ординарностью

Экспоненциальное распределение и его свойства

Основные свойства экспоненциального распределения

Стационарностью, «отсутствием последействия» и ординарностью