Система маркова бернулли что это такое

Правила, 5.18. Запрещено размещать задания и решения в виде картинок и других файлов с их текстом.

Имхо, отстойные правила. Надо менять!

Согласен. Нужны дополнительные предположения о том, что и как именно неидеально. Шары? Лототрон? Внешние условия типа расположения спутников Урана?

А я был уверен в начале, что тебе эту задачу задали в институте. А для чего, если не секрет, тебе нужно всё это делать? Программный код и т.д.

Тут нестыковка у тебя. Если N испытаний независимы, то значит предыдущие не влияют. Это же определение независимости.

Я не понимаю, как вероятность выпадения в след. тираже у холодных шаров мб больше, чем у горячих. Бред.

Вот чтоб таким геморром не заниматься и придумали формулу для гипергеометрического распределения (задача про красные шары)

Можешь сделать так: ввести предположение, что вероятности для разных шаров неодинаковы и константы в каждом тираже. То есть если шар номер 3 выпадает с вероятностью 3\36, то он будет в КАЖДОМ тираже выпадать с такой вероятностью.

Забавная тема с лотореей Не ожидал, что существуют возможности, системы для плюсовой игры в них. Ребятам тяжело, конечно. Ведь им нужно не просто плюсовую стратегию придумать, но и чтоб организаторскую комиссию переплюнуть.

Тут согласен. Bermamyt, какие вы делаете предположения? В чём именно лоторея не идеальна?

http://statloto.ru/main536.asp Вот тут 1-я картинка интересная. Можно проверить статистическую значимость колебаний этих частот вокруг матожидания 5\36. Если колебания серьёзные и стат. значимые, то скорей всего лототрон неидеален.

Интересно, они лототрон меняют периодически? По уму, при каждой замене вся зависимость на основе предыдущих тиражей должна исчезать.

Комментарий модератора

Правила, 1.3. Если пользователь отказывается соблюдать настоящие Правила, то он должен либо самостоятельно покинуть форум, либо его аккаунт будет заблокирован.

Источник

Схема Бернулли. Цепи Маркова

Цепи Маркова как обобщение схемы Бернулли, описание последовательности случайных событий с конечным или счётным бесконечным числом исходов; свойство цепей, их актуальность в информатике; применение: определение авторства текста, использование PageRank.

Эта была одна из основных причин выбора мною этой темы для выпускной квалификационной работы (ВКР). Мне было очень интересно, по какому принципу происходит выборка по рассылке, или по поиску в Интернете. Рассылка спам-ботов основана тоже на этих же процессах.

Во второй главе своей работы я уже по выше рассмотренным понятиям схем Бернулли ввожу понятие Цепь Маркова, которая была так названа в честь нашего соотечественника, великого математика, Андрея Андреевича Маркова. Для лучшего понятия темы Цепи Маркова в этой главе я рассматриваю введение понятия цепь Маркова с помощью примера.

Третья глава дает нам представление о том, какой объем работы может выполнять человек, который владеет цепями Маркова. Подробно рассматриваю на примере по определению авторства текста. Я посчитал этот пример очень удачным применением Цепей Маркова.

Глава 1. Схема Бернулли

1.1 Исторический курс. Биография Якоба Бернулли

Якоб Бернулли родился 27 декабря 1654 г. По желанию отца готовился к званию протестантского священника. Окончил Базельский университет, где изучал философию, богословие и языки. Владел немецким, французским, английским, итальянским, латинским и греческим языками. Испытывая непреодолимое влечение к математике, изучал ее тайком от отца. В 1671 г. получил степень магистра философии. С большим успехом читал проповеди на немецком и французском языках. В то же время продолжал пополнять свои знания по математике без учителя, почти без учебников.

В октябре 1686 г. оказывается вакантной должность профессора математики в Базельском университете. Успехи Якоба в математике хорошо известны, и Сенат университета единодушно выдвинул на вакантную должность Якоба Бернулли. Вступление в должность состоялось 15 февраля 1687 г. Вряд ли присутствовавшие при этом скромном акте представляли, что они являются свидетелями начала беспримерного в истории математики события: отныне кафедру будут занимать Бернулли на протяжении ста лет. Члены же этой семьи будут профессорами родного университета в течение четверти тысячелетия, вплоть до второй половины XX в.

С 1677 г. Я. Бернулли стал вести записные книжки, куда вносил различного рода заметки научного содержания. Первые записи посвящены теологии, сделаны под влиянием распространенного в то время в Базеле сборника спорных теологических вопросов.

Основное место в записных книжках занимает решение задач. Уже по ранним записям можно судить о проявленном Я. Бернулли интересе к прикладной математике. Математические заметки показывают, как постепенно Я. Бернулли овладевал методами Валлиса, Декарта, инфинитезимальными методами, как развивал и совершенствовал их. Решенные им задачи служили отправными пунктами для дальнейших более глубоких исследований.

В январе 1684 г. Я. Бернулли провел в Базельском университете открытый диспут, на котором защищал 100 тезисов, из них 34 логических, 18 диалектических и 48 смешанных. Некоторые тезисы крайне любопытны. Вот примеры:

78. Иногда существует несколько кратчайших путей из точки в точку

83. Среди изопериметрических фигур одна может быть в бесконечное число раз больше другой

85. Не в каждом треугольнике сумма внутренних углов равна двум прямым

89. Квадратура круга еще не найдена, но не потому, что между искривленным и прямолинейным нет никакой связи; в действительности кривую можно спрямить, а криволинейную фигуру квадрировать

В мае 1690 г. Я. Бернулли опубликовал в «Асtа Eruditirum» первую работу, связанную с исчислением бесконечно малых. В ней он дал решение поставленной Лейбницем в 1687 г. задачи о парацентрической изохроне. Необходимо было найти кривую, по которой материальная точка опускалась бы в равные промежутки времени на равные высоты. Я. Бернулли вывел дифференциальное уравнение кривой и проинтегрировал его. При этом он впервые употребил в печати термин «интеграл», указав, что из равенства двух выражений, связывающих дифференциалы, следует равенство интегралов.

Дуги Dd и Сс малы, поэтому фигуры GDd и НСс можно считать треугольниками.

Из подобия треугольников GDd и DEK, НСс и СFL получим

С помощью этих пропорций найдем

Вв.Сс=ВП1Нс * ВК.ВЕ * СА.СДю

По условиям задачи dG/Нс=1, поэтому

Проведем через точку С прямую СМ, параллельную DК. Тогда

Dd 2 /Сс 2 =СМ 2 /СL 2 =DЕ/CF, СМ 2 /СL 2 =DЕ/СF.

Последнее равенство означает, что если через две произвольные точки кривой провести касательные СL и DК и через точку С провести СМ параллельно DК, то должна выполняться указанная пропорция. Таким свойством обладает искомая кривая.

Задача оказалась сведенной к классу обратных задач на касательные: найти кривую, касательные к которой удовлетворяют некоторому требованию. Подобную задачу впервые предложил Декарту Дебон, и Декарт с ней не справился. Разработанный Лейбницем метод позволяет решать и обратные задачи на касательные.

Выберем начало координат в точке А. Обозначим АЕ=х, ЕD=у. Тогда GD=dх, Gd=dу. Обозначим также СF=а, СL=b. Треугольники FСМ и СdD подобны, отсюда

dy/v dx 2 +dy 2 = а/СМ, откуда

Подставим найденное выражение в пропорцию СL 2 /СM 2 =СF/СЕ и получим дифференциальное уравнение

vb 2 y-a 3 dy=va 3 dx.

В уравнении переменные разделены, интегрирование его дает искомую кривую

Парацентрическая изохрона оказалась полукубической параболой. Вид кривой раньше Я. Бернулли определили Лейбниц и Гюйгенс, но лишь Я. Бернулли дал решение средствами анализа бесконечно малых.

В приложении к другой работе о рядах (1694 г.) Я. Бернулли сформулировал несколько тезисов.

1. Существуют спирали, которые совершают бесконечное число витков вокруг полюса, но имеют конечную длину.

2. Существуют кривые, которые, подобно эллипсу, замкнуты и, подобно параболе, уходят в бесконечность, например ay 2 =х 2 (b+х).

4. Существуют неограниченные поверхности с конечной площадью.

5. Существуют неограниченные поверхности с бесконечной площадью, но такие, что соответствующие им тела вращения обладают конечным объемом.

Я. Бернулли увлекался также и изопериметрическими задачами. Древнейшая из них—задача легендарной основательницы Карфагена и его первой царицы Дидоны. Легенда такова. Дидона бежала от отца, тирского царя, и достигла Африки, где купила у туземцев участок земли на берегу моря «не больше, чем можно окружить воловьей шкурой». Она разрезала шкуру на узкие полоски и связала из них длинную ленту. Спрашивается, какой формы должна быть фигура, оцепленная лентой данной длины, чтобы площадь фигуры была наибольшей?

Ван-дер-Варден пишет, что Зенодор, живший вскоре после Архимеда, высказал 14 предложений относительно изопериметрических фигур. Он утверждал, что из всех фигур (кругов и многоугольников), имеющих одинаковый периметр, круг будет наибольшим, а также и то, что из всех пространственных тел с одинаковой поверхностью наибольшим будет шар.

Решение задачи содержится в записных книжках Я. Бернулли и помещено в майском номере «Acta Eruditorum» за 1701 г. Я. Бернулли и здесь применил высказанный ранее принцип: поскольку площадь должна быть экстремальной, этим же свойством должна обладать и любая ее элементарная часть. Он получил дифференциальное уравнение третьего порядка и впоследствии проинтегрировал его.

К.А. Рыбников пишет: «Таким образом, решение изопериметрической задачи означало очень важный, принципиально новый этап в истории вариационного исчисления; оно дало возможность решать более сложные вариационные задачи, им был сделан важный шаг на пути решения вариационных задач».

При изучении свойств сочетаний и фигурных чисел Я. Бернулли встретился с суммированием степеней натуральных чисел Sm = е km

Эти вопросы интересовали математиков и ранее. Я. Бернулли составил таблицу фигурных чисел, указал их свойства и на основании отмеченных свойств нашел формулы для сумм степеней натуральных чисел. Он привел формулы сумм от S(n) до S(n 10 ):

S (n 2 ) = n 3 /3 + n 2 /2+ n/6

S (n 3 ) = n 4 /4 + n 3 /2 + n2/4

Затем Я. Бернулли указал общую формулу

S(nc) = n c+1 /c+1 + 1/2*n c + 1/2*( )An c-1 + 1/4*( )Bn c-3 + 1/6*( )Cn c-5 +

Именно: А=1/6, В=-1/30, С=1/42, D=-1/30,

Бернулли формулирует общее правило для вычисления этих чисел: сумма коэффициентов в выражениях S(n), S(n 2 ), S(n 3 ), … равна единице. Например, 1/9+1/2+2/3-7/15+2/9+D=1. Отсюда D=-1/30.

Я. Бернулли подчеркивает удобство таблицы фигурных чисел и заявляет, что с ее помощью в течение «половины четверти часа» нашел сумму десятых степеней первой тысячи натуральных чисел. Она оказалась равной

91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500.

1.2 Схема Бернулли. Обобщение

Здесь буквами «у» и «н» обозначены успешный и неудачный результаты испытаний соответственно.

Обозначим через число успехов, случившихся в испытаниях схемы Бернулли. Эта величина может принимать целые значения от нуля до в зависимости от результата испытаний. Например, если все испытаний завершились неудачей, то величина равна нулю.

Теорема 1 (формула Бернулли). При любом имеет место равенство:

Доказательство. Событие означает, что в испытаниях схемы Бернулли произошло ровно успехов. Рассмотрим один из благоприятствующих событию элементарных исходов:

Определение 2. Набор чисел называется биномиальным распределением вероятностей.

1.2.1 Номер первого успешного испытания

Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании. Введем величину со значениями равную номеру первого успешного испытания.

Теорема 2. Вероятность того, что первый успех произойдет в испытании с номером равна

Определение 3. Набор чисел называется геометрическим распределением вероятностей.

Геометрическое распределение вероятностей обладает интересным свойством, которое можно назвать свойством «нестарения».

Доказательство. По определению условной вероятности,

Теорема 3 доказана.

1.2.2 Независимые испытания с несколькими исходами

Рассмотрим схему независимых испытаний уже не с двумя, а с большим количеством возможных результатов в каждом испытании.

Пример 1. Игральная кость подбрасывается 15 раз. Найти вероятность того, что выпадет ровно десять троек и три единицы.

Здесь каждое испытание имеет три, а не два исхода: выпадение тройки, выпадение единицы, выпадение любой другой грани. Поэтому воспользоваться формулой для числа успехов в схеме Бернулли не удаcтся.

Теорема 4 (Обобщенная формула Бернулли). Для любого и любых неотрицательных целых чисел сумма которых равна верна формула

Доказательство. Рассмотрим один элементарный исход, благоприятствующий выпадению единиц, двоек и т.д.:

Теперь мы можем вернуться к примеру 1 и выписать ответ: вероятность получить десять троек, три единицы и еще два других очка равна

1.2.3 Теорема Пуассона для схемы Бернулли

Теорема 5 (теорема Пуассона). Пусть и так, что Тогда для любого вероятность получить успехов в испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха стремится к величине

По теореме 17 можно приближенно посчитать вероятность получить не менее семи успехов в тысяче испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха с вычисления которой мы начали. Поскольку «велико», а «мало», то, взяв можно записать приближенное равенство

Осталось решить, а достаточно ли велико, а мало, чтобы заменить точную вероятность на ее приближенное значение. Для этого нужно уметь оценивать разницу между этими вероятностями.

Следующую очень полезную теорему мы, исключительно из экономии времени, доказывать не станем.

Таким образом, теорема 6 предоставляет нам возможность самим решать, достаточно ли велико, а мало, руководствуясь полученной величиной погрешности. Какова же погрешность в формуле (3)? Взяв имеем

Пример 2. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Пример 3. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 деталей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки:

Следовательно, искомая вероятность

Пример 4. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными.

Пример 5. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.

Решение. Вычисляем по формуле Бернулли:

Пример 6. Независимые испытания продолжаются до тех пор, пока событие А не произойдет k раз. Найти вероятность того, что потребуется n испытаний (n 2 + 0,6*0,3*0,5+0,6*0,5*0,6)+(0,1*0,5*0,2+0,1*0,2*0,5

Пример 12. Доказать, что P ( n ) = P n для двух состояний цепи Маркова.

Решение. Пусть цепь Маркова с двумя состояниями E₁ и E₂ задана своей матрицей перехода P:

Докажем утверждение методом математической индукции.

Вероятности перехода за два шага удобно находить по графу перехода:

Глава 3. Применение цепей Маркова

3.1 Определение авторства текста

В статье посредством формального анализа текста решается задача определения авторства текста. Новый метод основывается на формальной математической модели последовательности букв текста как реализации цепи А.А. Маркова. Оказывается, частоты употребления пар букв очень хорошо характеризуют автора. Последнее утверждение проверено в объемном статистическом эксперименте на произведениях 82 писателей.

В последние десятилетия наметилась тенденция поиска и выявления характерных структур авторского языка путем применения формально-количественных, статистических методов. Первые пробные шаги на этом пути предпринял еще в начале XIX века Н.А. Морозов. Интересно, что тогда же известный математик А.А. Марков выступил с критикой Н.А. Морозова. А.А. Марков критиковал Н.А. Морозова за то, что он не произвел тщательной статистической проверки утверждений относительно устойчивости некоторых элементов авторского стиля (например, частицы «не»). Примером правильного статистического подхода А.А. Марков считал свое исследование в статье, где он изучал распределение доли гласных и согласных среди первых 20000 букв «Евгения Онегина». Отметим, что работа посвящена первому применению «испытаний, связанных в цепь», получивших впоследствии название цепей А.А. Маркова. Работа удивительным образом предоставляет историческую основу методу определения авторства, изложенному в настоящей статье.

Истории вопроса определения авторства текста посвящена первая глава книги. Несмотря на то, что среди перечисленных в присутствуют весьма изощренные методики определения структуры авторского стиля, все они страдают, на взгляд автора настоящей статьи, одним общим недостатком. Ни одна из этих методик не проходила проверку на большом числе писателей. Дело в том, что многие из методик имеют трудно формализуемый этап сведения естественно-литературного произведения к предлагаемой математической модели. Например, для некоторых из них необходима классификация всех слов текста по грамматическим классам, что требует участия человека. При таком подходе большой вычислительный эксперимент с целью проверки методики на большом числе авторов практически неосуществим. Поэтому все такие методики пытались использовать на небольшом числе авторов.

Другого подхода придерживались авторы статьи. Они исследовали несколько простых параметров авторского стиля и на огромном числе произведений писателей XVIII-XX веков статистически доказали, что доля всех служебных слов в длинном прозаическом произведении является т.н. авторским инвариантом.

Новый метод основывается на формальной математической модели последовательности букв текста как реализации цепи А.А. Маркова. По тем произведениям автора, которые достоверно им созданы, вычисляется матрица переходных частот употреблений пар букв. Она служит оценкой матрицы вероятностей перехода из буквы в букву. Матрица переходных частот строится для каждого из авторов. Для каждого автора оценивается вероятность того, что именно он написал анонимный фрагмент текста. Автором анонимного текста полагается тот, у которого вычисленная оценка вероятности больше.

Такой метод оказывается удивительно точным для естественно-языковых текстов. Мы обсуждаем здесь особенности применения метода и сравниваем его с методом определения автора на основе частот употребления каждой из букв в отдельности. Проверка метода проводилась на произведениях 82 писателей, среди которых есть русские писатели как XIX, так и XX века.

Мы не будем обсуждать и доказывать какие-либо математические свойства оценки (2.1), хотя это и представляет интересную задачу математической статистики (более подробно см.). Зато мы покажем удивительную эффективность оценки (2.1) при установлении автора текста.

Возьмем A = <маленькие буквы кириллицы>?<символ пробела>. Предположим, что у нас имеются в распоряжении достаточно длинные фрагменты произведений n авторов на русском языке. Обозначим j-тый фрагмент i-того автора через g_i,j. Можно считать, что фрагмент g_i,j является последовательностью символов некоторого расширенного алфавита B, который включает, например, знаки пунктуации, большие буквы, латинские буквы и т.д. (на персональном компьютере B обычно совпадает с расширенным множеством символов ASCII).

Кроме того, мы будем рассматривать функцию G, которая устроена так же, как и функция F, с тем дополнением, что все слова, которые в фрагменте g_i,j начинались с заглавной буквы, отбрасываются. Например, если

y = «Кроме того, мы будем рассматривать функцию G,», то

F(y) = » кроме того мы будем рассматривать функцию «, а

G(y) = » того мы будем рассматривать функцию «.

Важно отметить, что оценки t(F(y)) и t(G(y)) вычисляются на основе информации о частотах употребления пар букв. Поскольку между словами вставлены пробелы, оценки t(F(y)) и t(G(y)) никак не зависят от порядка самих слов. По-видимому, t(F(y)) и t(G(y)) характеризуют последовательности морфем в словоформах русского языка, но, конечно, совсем не учитывают синтаксисическую информацию (на основе последней пытались устанавливать авторство в).

Подобные документы

Цепь Маркова как простой случай последовательности случайных событий, области ее применения. Теорема о предельных вероятностях в цепи Маркова, формула равенства Маркова. Примеры для типичной и однородной цепи Маркова, для нахождения матрицы перехода.

курсовая работа [126,8 K], добавлен 20.04.2011

реферат [75,6 K], добавлен 08.03.2004

Сущность вероятностной задачи-схемы независимых испытаний швейцарского профессора математики Я. Бернулли. Пример решения задачи по формуле Бернулли. Применение методов теории вероятностей в различных отраслях естествознания, техники и прикладных науках.

презентация [301,3 K], добавлен 10.03.2011

Преимущество использования формулы Бернулли, ее место в теории вероятностей и применение в независимых испытаниях. Исторический очерк жизни и деятельности швейцарского математика Якоба Бернулли, его достижения в области дифференциального исчисления.

презентация [96,2 K], добавлен 11.12.2012

Проверка выполнимости теоремы Бернулли на примере вероятности прохождения тока по цепи. Моделирование дискретной случайной величины, имеющей закон распределения Пуассона. Подтверждение гипотезы данного закона распределения с помощью критерия Колмогорова.

курсовая работа [134,2 K], добавлен 31.05.2010

Правила применения уравнения Бернулли для определения возможности наступления события. Использование формул Муавра-Лапласа и Пуассона при неограниченном возрастании числа испытаний. Примеры решения задач с помощью теоремы Бернулли о частоте вероятности.

курсовая работа [265,6 K], добавлен 21.01.2011

Основные понятия теории марковских цепей, их использование в теории массового обслуживания для расчета распределения вероятностей числа занятых приборов в системе. Методика решения задачи о наилучшем выборе. Понятие возвратных и невозвратных состояний.

курсовая работа [107,2 K], добавлен 06.11.2011

Распределение дискретной случайной величины по геометрическому закону распределения, проверка теоремы Бернулли на примере моделирования электрической схемы. Математическое моделирование в среде Turbo Pascal. Теоретический расчёт вероятности работы цепи.

контрольная работа [109,2 K], добавлен 31.05.2010

Определение и оценка вероятности наступления заданного события. Методика решения задачи, с использованием теоремы сложения и умножения, формулы полной вероятности или Байеса. Применение схемы Бернулли при решении задач. Расчет квадратического отклонения.

практическая работа [55,0 K], добавлен 23.08.2015

Сведения о семье Якоба Бернулли, его тайное увлечение математикой в юности и последующий вклад в развитие теории вероятности. Составление ученым таблицы фигурных чисел и выведение формул для сумм степеней натуральных чисел. Расчет значений чисел Бернулли.

презентация [422,7 K], добавлен 02.06.2013

Источник

• ← Что означает выражение не в зуб ногой
• можно ли использовать вместо пайки клей →