найти все такие натуральные числа p что p и 5p 1 простые

Найти все такие натуральные числа p что p и 5p 1 простые

Уравнения в целых числах

Решение: По модулю 3

Решение: По модулю 3

Задача 4: Является ли число 12345678926 квадратом?

Задача 5: Доказать, что следующие числа не являются квадратами: a ) 12345678 b ) 987654 c ) 1234560 d ) 98765445.

Задача 6: Доказать, что 1 • 2 • 3 + 2 • 3 • 4 + … + 98 • 99 • 100 ≠ 19891988.

Решение: По модулю 5

Задача 8: Доказать, что n 4 + 2n² + 3 не может быть простым.

Решение: Оно делится на 3.

Задача 9: Доказать, что число 2 + 4 + 6 + … + 2n не может быть

b ) кубом целого числа.

Задача 10: Решить в целых числах: 2x + 5y = xy – 1.

Решение: По модулю 7

Задача 14: Доказать, что произведение 6 последовательных натуральных чисел не может быть равно 776965920.

Задача 15: Доказать, что уравнение x ² + 1990 = y ² не имеет решений в целых числах.

Задача 16: Доказать, что уравнение 4 k – 4 l = 10 n не имеет решений в целых числах.

Решение: По модулю 3

Задача 17: Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде a ) x ² + y ² b ) x ² + y ² + z ² c ) x ³ + y ³ + z ³.

Решение: b ) Все числа вида 8k + 7.

c ) Все числа вида 9k + 4.

Задача 18: Доказать, что число 53 • 83 • 109 + 40 • 66 • 96 – составное.

Задача 19: Решить в целых числах: x ² + y ² + z ² = 4( xy + yz + zx ).

Решение:

Метож бесконечного спуска: все переменные должны быть чётными и их можно разделить пополам. Ответ: (0;0;0)

Задача 20: Решить в целых числах: x ² + y ² + z ² = 2xyz.

Решение: Метод бесконечного спуска.

Задача 22: Найти все прямоугольники с натуральными сторонами, у которых периметр равен площади.

Задача 23: Есть 100 купюр типов: по a и b рублей. ( a не равно b ). Доказать, что можно выбрать несколько купюр так, что полученная сумма делится на 101 рубль без остатка.

Задача 24: a ) Решить в целых числах: .

b ) . Доказать, что .

Задача 25: Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде n ² + p ( p – простое).

Решение:

Таковы почти все точные квадраты.

Задача 26: Доказать, что 3 2n – 1

Задача 28: Решить в целых числах: a ² + b ² = 3( c ² + d ²).

Решение: Бесконечный спуск.

Источник

Найти все такие натуральные числа p что p и 5p 1 простые

Задача 1: Найти все такие p, что p и 5p + 1 – простые.

Задача 2: Найти все такие p, что p,p + 10 и p + 14 – простые.

Решение: По модулю 3

Задача 3: Найти все такие p, что p и p² + 2 – простые.

Решение: По модулю 3

Задача 4: Является ли число 12345678926 квадратом?

Задача 5: Доказать, что следующие числа не являются квадратами: a) 12345678 b) 987654 c) 1234560 d) 98765445.

Задача 6: Доказать, что 1 • 2 • 3 + 2 • 3 • 4 + … + 98 • 99 • 100 ≠ 19891988.

Задача 7: Найти все p, такие что p, p² + 4, p² + 6 – простые числа.

Решение: По модулю 5

Задача 8: Доказать, что n 4 + 2n² + 3 не может быть простым.

Решение: Оно делится на 3.

Задача 9: Доказать, что число 2 + 4 + 6 + … + 2n не может быть

b) кубом целого числа.

Задача 10: Решить в целых числах: 2x + 5y = xy – 1.

Задача 11: Найти все p, такие что p и p 6 + 6 – простые.

Решение: По модулю 7

Задача 12: Найти все p, такие что p и 3p² + 1 – простые

Задача 13: Найти все p, такие что p и 2p² + 1 – простые.

Задача 14: Доказать, что произведение 6 последовательных натуральных чисел не может быть равно 776965920.

Задача 15: Доказать, что уравнение x² + 1990 = y² не имеет решений в целых числах.

Задача 16: Доказать, что уравнение 4 k – 4 l = 10 n не имеет решений в целых числах.

Решение: По модулю 3

Задача 17: Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде a) x² + y² b) x² + y² + z² c) x³ + y³ + z³.

Решение: b) Все числа вида 8k + 7.

c) Все числа вида 9k + 4.

Задача 18: Доказать, что число 53 • 83 • 109 + 40 • 66 • 96 – составное.

Задача 19: Решить в целых числах: x² + y² + z² = 4(xy + yz + zx).

Решение:

Метож бесконечного спуска: все переменные должны быть чётными и их можно разделить пополам. Ответ: (0;0;0)

Задача 20: Решить в целых числах: x² + y² + z² = 2xyz.

Решение: Метод бесконечного спуска.

Задача 21: Решить в целых числах: , b и c – простые.

Задача 22: Найти все прямоугольники с натуральными сторонами, у которых периметр равен площади.

Задача 23: Есть 100 купюр типов: по a и b рублей. (a не равно b). Доказать, что можно выбрать несколько купюр так, что полученная сумма делится на 101 рубль без остатка.

Задача 24: a) Решить в целых числах: .

b) . Доказать, что .

Задача 25: Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде n² + p (p – простое).

Решение:

Таковы почти все точные квадраты.

Задача 26: Доказать, что 3 2n – 1

Задача 27: Найти все натуральные n, для которых 2 n + 33 – точный квадрат.

Задача 28: Решить в целых числах: a² + b² = 3(c² + d²).

Решение: Бесконечный спуск.

Задача 29: Найти наименьшее значение выражения (k, l – натуральные числа).

Решение:

Ответ: 11 = 16 – 25. По модулям 3, 4 и 5.

Задача 30: Решить в простых числах: pqr = 7(p + q + r).

Задача 31: Решить в натуральных числах: 3 N + 55 = m².

Задача 33: Решить в целых числах: 5x³ + 11y³ + 13z³ = 0.

Задача 34: Решить в натуральных числах: .

Задача 35: Разложить на множители: x³ + y³ + z³ – 3xyz.

Решение:

x³ + y³ + z³ – 3xyz делится на x + y + z. Найдите частное.

Задача 36: a – фиксированное натуральное число. Доказать, что уравнение x! = y² + a² имеет лишь конечное число решений (x,y).

Источник

Закономерности в распределении простых чисел

Введение

Простое число — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя. Такие числа представляют огромный интерес. Дело в том, что никто так и не смог полностью понять и описать закономерность по которой простые числа располагаются в ряду натуральных чисел.

Ещё до нашей эры Евклид сформулировал и доказал первые теоремы о простых числах. С тех пор математики, среди них Гаусс, Ферма, Риман, Эйлер, продолжали исследования и надо отдать им должное заметно продвинулись. Было обнаружено много интересных свойств простых чисел, выдвинуто много предположений, некоторые из которых были доказаны. Однако много гипотез связанных с простыми числами до сих пор остаются необоснованными.

Распределение простых чисел

Первостепенная задача, решение которой автоматически привело бы к решению большинства вопросов связанных с простыми числами заключается в следующем:

Получить рекуррентную формулу для очередного простого числа

Существует родственная ей задача о количестве простых чисел, не превосходящих заданной величины:

Найти функцию p(x), значение которой в точке x равно числу простых чисел на отрезке [1, x]. Где x – любое действительное число не меньшее единицы.

Функция называется функцией распределения простых чисел.

К решению вышеуказанных задач существует множество подходов. Рассмотрим некоторые из них.

Основная теорема арифметики гласит, что любое натуральное число большее единицы может быть представлено в виде произведения простых множителей (причём единственным образом, с точностью до порядка множителей).

Отсюда и из определения простого числа следует, что натуральное число, большее двух, является простым тогда и только тогда, когда оно не делится ни на одно из простых чисел меньших самого себя.

Первое простое число p₁ =2. Значит все последующие простые числа должны не делится на 2, то есть иметь вид 2k+1, где k – натуральное. То есть все простые числа начиная со второго — нечётные.

Второе простое число p₂ = 3. Значит все последующие простые числа должны иметь вид 3m+1, либо 3m+2, где m – целое. Это равносильно утверждению о том, что все простые числа начиная с третьего не делятся на три. Однако при этом числа ещё должны не делится на два, то есть иметь вид 2k+1.

Решая диофантовы уравнения

найдём k и m и получим, что все простые числа начиная с p₃ обязательно представимы в виде , либо в виде , где t – целое.

И правда, какое бы простое число мы ни взяли оно представимо таким образом:

Однако обратное неверно, то есть любое натуральное число вида 6t+1 или 6t+5 не обязательно простое. Например, .

Третье простое число p₃ = 5. И если по аналогии учесть, что любое простое число, начиная с четвёртого не делится на 5, также не делится на p₁ = 2 и на p₂ = 3, то получим, что все простые числа начиная с p₄ обязательно имеют одно из представлений

Затем учтём p₄, p₅ и т.д. Проблема в том, что на каждом шаге нам придётся решать всё большую систему диофантовых уравнений, поэтому такой прямолинейный подход оказывается весьма сложным.

На самом деле, при различных попытках решения поставленной нами задачи в большом количестве случаев появляются одни и те же конструкции. Например, произведение Эйлера. Рассмотрим, как это происходит, на следующем примере.

Итак, как же найти функцию F(x)? Сначала рассмотрим множество всех натуральных чисел. Какова доля чисел, которые не делятся ни на одно из простых p₁, p₂, …, p_n?

Каждое второе число делится на p₁ = 2. Значит, часть всех чисел делится на p₁.

Каждое третье число делится на 3. Значит, всех чисел делится на p₂. При этом надо учесть, что каждое шестое число делится и на 2 и на 3 одновременно.

Значит, доля чисел не делящихся ни на 2, ни на 3 равна

Если преобразовать выражение, то оно примет вид:

Опять же можно представить выражение в виде

Будем обозначать такое произведение P(n). Кстати, если учесть все простые числа (n→∞), то мы получим обратную величину от так называемого произведения Эйлера.

Почему так происходит? Когда мы получали формулу (1), мы пользовались рассуждениями, что среди всех натуральных чисел доля, делящихся на p_n, равна . Но нельзя сделать такое утверждение о конечном наборе последовательных натуральных чисел. Например, возьмём набор 1,2, 3,4,5,6,7,8,9. Здесь 4 числа из 9 делятся на два. И несложно заметить, что отличается от . То есть, при применении к конечному набору чисел, данный метод даёт результат с некоторой погрешностью.

Это будет мешать далее получать точные формулы. Но если оценить эту погрешность, то можно (например, приняв и используя приведённые выше рассуждения) получить оценку для p_n+1-го простого числа. Однако, получение таких оценок — это тема отдельной работы. И поэтому здесь я не буду на этом останавливаться, а приведу лишь некоторые результаты, полученные математиками.

Одна из оценок для простого числа с номером n:

оценка верна для всех n, начиная с 6.

А вот формула для функции распределения простых чисел:

Для функции Риман получил приближение, используя интегральный логарифм и нетривиальные нули дзета-функции Римана. Однако, это приближение верно, только если верна гипотеза Римана. Причём если гипотеза Римана верна, то оно является наилучшим.

Гипотеза Римана до сих пор не доказана и не опровергнута. Она, как мы могли видеть, тесно связана с простыми числами и, вообще, имеет огромное значение для теории чисел. Из-за своей важной роли в математике, гипотеза Римана была объявлена одной из семи задач тысячелетия.

Проблемы Ландау

Насчёт простых чисел выдвинуто очень много интересных гипотез. Среди них видное место занимают гипотезы Ландау (проблемы Ландау). Формулируются они так:

1. Гипотеза Гольдбаха

Можно ли любое целое чётное число, большее 2, записать в виде суммы двух простых?

2. Гипотеза о числах-близнецах

Бесконечно ли число простых p таких, что p + 2 тоже простое?

3. Гипотеза Лежандра

Всегда ли существует по меньшей мере одно простое число, лежащее между двумя последовательными полными квадратами?

4. Гипотеза о почти квадратных простых числах

Существует ли бесконечно много простых чисел p вида .

Проблемы Ландау ни доказаны, ни опровергнуты по состоянию на 2020 год. Далее кратко расскажу про каждую из них.

1. Гипотеза Гольдбаха

Существуют две гипотезы Гольдбаха: слабая (тернарная) и сильная (бинарная).

Слабая гипотеза Гольдбаха: Каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел.

Эту гипотезу доказал Харольд Гельфготт в 2013 году используя так называемые большие дуги. Финальная часть доказательства заняла 133 страницы.

Сильная гипотеза Гольдбаха: Каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Надо заметить, что в обоих случаях гипотезы Гольдбаха простые числа не обязательно должны быть различными.

Заметьте, что в сильной гипотезе речь идёт только о чётных числах. Давайте покажем, что нечётное число не обязано быть представимо в виде суммы двух простых чисел. Просто приведём пример. Число 11 не представимо в виде суммы двух простых. Вроде бы несложно.

Но переформулируем проблему так: существует ли такое число, что любое нечётное, большее этого числа, представимо в виде суммы двух простых чисел? Давайте проверим. Пусть существует некоторое нечётное натуральное число N, такое, что любое нечётное число представимо в виде суммы двух простых чисел.

Возьмём произвольное нечётное . По предположению существуют такие простые p₁ и p₂, что . Если сумма двух натуральных чисел нечётна, то это значит, что одно из слагаемых чётно, а другое нет. Пусть для определённости p₁ – чётное. Единственное чётное простое число — это 2. Значит, . То есть, K-2 (предыдущее перед K нечётное число) является простым. Поскольку всё вышесказанное верно для любого нечётного большего N, то получается, что все нечётные числа, начиная с N-2, являются простыми. Это неверно. Если бы это было так, то при n→ ∞. Однако, как говорилось выше при n→ ∞.

Итак, не существует такого числа, начиная с которого все нечётные числа могут быть представлены в виде суммы двух простых.

А что же насчёт чётных? Гипотеза не была опровергнута, не было найдено ни одного контрпримера. Но это не значит, что их не существует. Доказать же гипотезу полностью пока никому не удалось.

2. Гипотеза о числах-близнецах

Бесконечно ли число простых чисел близнецов?

Для начала сформулируем определение. Два простых числа называются близнецами если отличаются друг от друга на 2.

Так же доказано, что существует бесконечно много простых чисел, разница между которыми составляет 246. Это наилучшая из обоснованных на данный момент оценок. Если же использовать некоторые недоказанные гипотезы о простых числах, то оценку можно улучшить.

3. Гипотеза Лежандра

Всегда ли существует, по меньшей мере, одно простое число, лежащее между двумя последовательными полными квадратами?

Аналогичная гипотеза доказана для кубов, начиная с некоторого n. То есть, существует, по меньшей мере, одно простое число, лежащее между и для достаточно большого n. Для квадратов же, гипотеза Лежандра пока не доказана.

4. Почти квадратные простые числа

Заключение

Как мы видим, в этой области теории чисел существует очень много пробелов, а также недоказанных гипотез. Отдельно хочется сказать про численную проверку утверждений. Например, ни для одной из гипотез Ландау не был найден контрпример, даже с использованием значительных вычислительных мощностей в течение большого времени. Однако, в истории математики 20-го и 21-го века были случаи, когда контрпример, опровергающий гипотезу, был настолько огромным числом, что его не удавалось найти с помощью вычислительных машин.

Также, постоянный интерес к простым числам обусловлен их обширным применением в криптографии. Итак, как мы убедились, исследование простых чисел — это, действительно, важная и очень интересная задача.

Источник

Найти все такие натуральные числа p что p и 5p 1 простые

Тема 5. Простые числа.

УПРАЖНЕНИЕ 1. а) Найдите все простые числа p, чтобы p-28 и p+40 тоже были простыми. б) Докажите, что остаток при делении любого простого числа на 30 не является составным числом.

Указание: а) при нечетных p и q четное число 5p+7q- составное, поэтому надо расматривать случаи, когда p=2 или когда q=2; б) при делении такого простого числа на 210 составными могут быть только остатки 11 × 11, 11 × 13 и 13 × 13 (обоснуйте!).

Тема 6. Элементы комбинаторики.

Ознакомимся с начальными сведениями комбинаторики в процессе решения упражнения.

УРАЖНЕНИЕ 2 . Имеется 5 различных книг и 3 различных журнала, которые расставляют соответственно на книжную полку и на полку для журналов.

а) Сколькими способами можно поставить на эти полки одновременно книгу и журнал?

б) Сколькими способами эти 5 книг можно поставить на книжную полку? Два способа расстановки считаем одинаковыми лишь в том случае, когда в результате расстановки каждым из них книги будут стоять на полке в одном и том же порядке.

в) Сколькими способами можно поставить 3 книги из 5 на книжную полку? Два способа расстановки считаем одинаковыми лишь в том случае, когда в результате расстановки каждым из них на полке будут одни и те же книги и в одном и том же порядке.

г) Сколькими способами можно поставить 3 книги из 5 на книжную полку? Два способа расстановки считаем одинаковыми лишь в том случае, когда в результате расстановки каждым из них на полке будут одни и те же книги.

д) Сколькими способами на эти полки можно поставить одновременно 3 книги и 2 журнала? Два способа расстановки считаем одинаковыми лишь в том случае, когда в результате расстановки каждым из них на полке будут одни и те же книги и журналы.

а) Поставим какую-то книгу на полку, одновременно с ней мы можем поставить на журнальную полку один из трех журналов, т.е. существует три способа расстановки, в результате которых на книжной полке будет выбранная книга. Поскольку книг 5 и для каждой из них имеем три способа расстановки, то всего существует 5 × 3=15 способов.

ЗАМЕЧАНИЕ . Допустим имеем n множеств элементов, а в каждом из этих множеств по элементов. Тогда число способов одновременного выбора по одному элементу из каждого из этих множеств равно (обоснуйте!). Так, например, в нашей задаче было n=2, и , поэтому число способов равнялось .

б) Первую книгу можно выбрать пятью способами, вторую- четырьмя (так как одна уже выбрана), третью- тремя (так как две книги уже выбраны), четвертую- двумя и последнюю пятую- одним способом. Откуда находим 5 × 4 × 3 × 2 × 1=120- общее число способов расстановки книг на полке.

в) Первую книгу можно поставить на полку пятью способами, вторую- четырьмя, а третью- тремя способами. Поэтому общее число способов равно 5 × 4 × 3=60.

ЗАМЕЧАНИЕ . Если имеется n элементов, то число упорядоченных наборов по k элементов () из этих элементов равно n × (n-1) × . × (n-k+1) (обоснуйте!). Такие упорядоченные наборы называются размещениями из n элементов по k, а их число обозначают , т.е. . Так, например, в нашей задаче было n=5 и k=3 и поэтому число способов равнялось

г) Обратите внимание на схожесть вопросов в заданиях в) и г)! Число размещений (упорядоченных наборов) из 5 книг по 3 равно . Но каждой тройке книг (неупорядоченному набору) соответствует 3!=1 × 2 × 3=6 перестановок из этой тройки книг. Поэтому искомое число неупорядоченных наборов по три книги равно , т.е. имеем 10 способов.

ЗАМЕЧАНИЕ . Если имеется n элементов, то число неупорядоченных наборов по k элементов () равно (обоснуйте!). Такие неупорядоченные наборы обычно называют сочетаниями из n элементов по k, а их число обозначают . Проверьте равенство: . Так, например, в нашей задаче было n=5 и k=3 и поэтому число способов равнялось .

д) Сначала замечаем, что мы имеем дело с неупорядоченными тройками книг и парами журналов. Число способов выбора тройки книг равно , а число способов выбора пары журналов равно . Поэтому общее число способов равно 10 × 3=30 (самостоятельно это обоснуйте по аналогии с заданием а).

ЗАДАЧА 3. В классе 25 учащихся, среди которых 12 девочек. а) Учитель должен вызвать к доске одновременно мальчика и девочку. Сколькими способами он может это сделать? б) Нужно выбрать старосту класса и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? в) Для участия в конкурсе художественной самодеятельности нужно выбрать два мальчика и три девочки. Сколькими способами это можно сделать?

ЗАДАЧА 4. Имеется набор из 30 двузначных натуральных чисел.

а) Для каждой тройки чисел из набора нашли их сумму. Докажите, что среди полученных сумм найдется по крайней мере 16 равных между собой.

б) Указанный набор разбили на два набора, в одном из которых 10 чисел, а в другом 20 чисел. Затем нашли сумму каждой пары чисел, взятых по одному из каждого полученного набора. Докажите, что среди полученных сумм найдется по крайней мере две равные между собой.

в) Имея два набора как и в пункте б), нашли сумму каждой четверки чисел, в которой два слагаемых из одного набора, а остальные два слагаемых из другого набора. Докажите, что среди полученных сумм найдется по крайней мере 24 равных между собой.

Указание: а) опредилите число таких сумм и заметьте, что суммы могут принимать значения только от 30 до 297, а далее по принципу Дирихле; б) указанные суммы принимают значения от 20 до 198; в) указанные суммы принимают значения от 40 до 396.

УПРАЖНЕНИЕ 3. На доске написано число 876543210. За один ход разрешается стереть любые две цифры и вместо каждой из них написать большую или меньшую на 1 цифру. Можно ли за некоторое количество таких ходов получить на доске число 100000000?

Решение. Так как на доске за ход две цифры меняют свою четность на противоположную, то четность суммы цифр, записанных на доске, не меняется. Таким образом, в качестве инварианта можно рассматривать четность суммы цифр на доске. Так как у исходного числа суммы цифр 36 и является четной, то ни за какое число ходов мы не сможем получить число 100000000 с нечетной суммой цифр.

Тема 8. Построение циркулем и линейкой.

Желательно ознакомиться с содержанием §5 в учебнике по геометрии 7 И.Ф. Шарыгина и §4.2 в учебнике по геометрии 7-11 А.В. Погорелова. Как правило, оформление задач на построения циркулем и линейкой дается в виде алгоритма, состоящего из простейших построений. К простейшим построениям относятся: 1) откладывание на луче отрезка, равного данному; 2) деление отрезка пополам или проведение серединного перпендикуляра к отрезку; 3) построение перпендикуляра из данной точки на данную прямую; 4) построение на луче в данной полуплоскости угла, равного данному; 5) построение биссектрисы угла; 6) построение прямой, параллельной к данной прямой и проходящей через точку вне ее. Иногда в ходе построений можно ссылаться на некоторые опорные построения: 1) построение треугольника по двум сторонам и углу между ними; 2) построение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам; 3) построение треугольника по трем сторонам; 4) построение треугольника, равного данному; 5) описать около треугольника окружность; 6) вписать в треугольник окружность; 7) провести касательную из внешней точки к окружности и пр ..

Сначала полезно решить две очень важные задачи (можно использовать учебник).

ЗАДАЧА 7. Докажите, что около треугольника можно описать и притом одну окружность.

Полезно знать два способа построения касательной из внешней точки к окружности (§4.2 в учебнике И.Ф. Шарыгина и §11 в учебнике А.В. Погорелова). Это поможет в решении некоторых из предлагаемых ниже задач, в которых имеются ввиду построения только с помощью циркуля и линейки.

ЗАДАЧА 9 . Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к первой из этих сторон.

Указание: отметим, что по этим данным можно построить два разных треугольника.

Особую роль играет метод геометрических мест точек (см. §41 и §5 в указанных ранее учебниках)

ЗАДАЧА 10. В плоскости дан разносторонний треугольник АВС. Постойте ГМТ (геометрическое место точек), равноудаленных от точек В и С, а также от прямых АВ и АС.

ЗАДАЧА 12 . На данной прямой постройте все точки, из которых отрезки касательных к данной окружности равны данному отрезку.

Попробуйте решить следующие две задачи (первую из них приписывают Герону!).

ЗАДАЧА 13. В одной полуплоскости относительно прямой j даны две точки А и В. Опредилите на прямой j точку М такую, чтобы АМ + МВ было наименьшим. Постройте ее.

Источник