на стороне прямоугольника у которого и отмечена точка так что треугольник равнобедренный найдите
На стороне прямоугольника у которого и отмечена точка так что треугольник равнобедренный найдите
На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ADP, проведённую из вершины D, если известно, что сторона квадрата равна 1.
Пусть точки P и A лежат по одну сторону от прямой CD (рис. 1). Треугольник ADP — равнобедренный (AD = DC = DP = 1), поэтому
Пусть DH — высота треугольника ADP. Из прямоугольного треугольника ADH находим, что
Пусть теперь точки P и A лежат но разные стороны от прямой CD (рис. 2). Треугольник ADP — равнобедренный (AD = DC = DP = 1), поэтому 
Из прямоугольного треугольника ADH находим, что
Ответ: 
или 
На наш взгляд, в ответе можно было оставить выражения 
и 
Тем не менее, на примере вычисления значения 
укажем два способа нахождения этих величин:
или, используя формулу половинного угла:
Заметим, кстати, что одно из возможных доказательств равенства полученных выражения сводится к выделению полного квадрата из-под знака корня:
Что должны или не должны знать школьники, вопрос сложный. В любом случае, вы как преподаватель имеете возможность научить их находить и . Знать их наизусть, действительно, не нужно. Полученный вами ответ проверьте, он отличается от правильного.
хочется предложить другой вариант решения, без использования синуса и косинуса 15 градусов. В треугольнике ADP угол ADP равен 30 или 150 градусов, стороны AD и DP равны 1, значит, можно найти площадь треугольника ADP через стороны и синус угла между ними и по теореме косинусов найти AP. Зная площадь и AP, легко находим DH как высоту, проведенную к AP
Почему если решать разными способами, то получаются разные ответы??
Может стоит еще взять на себя труд установить, что, на самом деле, ответ получается один и тот же? Если, конечно, решения верны.
Прямая, проведённая через середину N стороны AB квадрата ABCD, пересекает прямые CD и AD в точках M и T соответственно и образует с прямой AB угол, тангенс которого равен 4. Найдите площадь треугольника BMT, если сторона квадрата ABCD равна 8.
Пусть α — угол между прямыми MT и AB. По условию 
поэтому точка M лежит на стороне DC, а для точки T возможны только два случая: точка T лежит на продолжении стороны AD за точку A или на продолжении стороны AD за точку D.
Рассмотрим первый случай. Заметим, что 
Отрезок 
поэтому 
Значит, 
Кроме того, 
Следовательно, 
Во втором случае 
По-прежнему 
Следовательно, 
Почему в первом случае площадь треугольника BNT находится как половина произведения катетов, если там непрямоугольный треугольник и АТ вообще не является стороной этого треугольника.
Очевидно, там нет никаких прямоугольных треугольников и никаких катетов. AT — является высотой указанного треугольника.
В прямоугольнике ABCD AB = 2, 
Точка E на прямой AB выбрана так, что ∠AED = ∠DEC. Найдите AE.
Введём обозначения, как показано на рисунке. По свойству параллельных прямых 
Следовательно, треугольник 
равнобедренный, и 
Получаем, что треугольник 
— прямоугольный с гипотенузой 
и катетом 
По теореме Пифагора 
Точка 
может лежать как по одну, так и по другую сторону от точки 
Если точка лежит между 
и 
(точка 
на рисунке), то 
Если точка лежит между и (точка 
на рисунке), то 
На стороне прямоугольника у которого и отмечена точка так что треугольник равнобедренный найдите
Площадь треугольника АВС равна 12. На прямой АС взята точка D так, что точка С является серединой отрезка AD. Точка K — середина стороны AB, прямая KD пересекает сторону BC в точке L.
a) Докажите, что BL : LC = 2 : 1.
б) Найдите площадь треугольника BLK.
а) Соединим отрезками точки B и D, A и L. Рассмотрим треугольник АВD. Ясно, что L — точка пересечения медиан этого треугольника. Отсюда BL : LC = 2 : 1, что и требовалось доказать.
б) Как известно, медианы треугольника, пересекаясь в одной точке, делят его на 6 равновеликих треугольников. Учитывая то, что L — точка пересечения медиан 
а также 
получим:
Точка D делит сторону AC в отношении AD : DC = 1 : 2.
а) Докажите, что в треугольнике ABD найдётся медиана, равная одной из медиан треугольника DBC.
б) Найдите длину этой медианы в случае, если AB = 7, BC = 8, и AC = 9.
а) Обозначим середины отрезков BA, BD, BC за E, F, G соответственно. Тогда EG — средняя линия треугольника ABC, и точка F лежит на ней. Поскольку FG — средняя линия DBC, то 
Итак, в четырехугольнике AFGD две стороны равны и параллельны, значит, он параллелограмм и 
б) По теореме косинусов в треугольнике ABC имеем 
откуда 
По теореме косинусов в треугольнике DGC имеем 
откуда 
Ответ: 
Площадь треугольника ABC равна 10; площадь треугольника AHB, где H — точка пересечения высот, равна 8. На прямой CH взята такая точка K, что треугольник ABK — прямоугольный.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника ABK.
а) Заметим, что 
поскольку тогда 
или 
как перпендикуляры к одной прямой. Значит, 
Обозначим основания высот треугольника 
за 
Тогда точки K, B, A, A1, B1 лежат на окружности с диаметром 
(из-за прямых углов). заметим, что 
— основание перпендикуляра из 
на 
Перепишем требуемое утверждение:
Это верно из-за подобия треугольников 
и 
по двум углам: действительно, 
б) Из пункта а) следует, что 
Ответ: 