на продолжении биссектрисы cl треугольника abc за точку l взята точка m так что

01/19/202406/12/2023 admin 0 Comments

На продолжении биссектрисы cl треугольника abc за точку l взята точка m так что

Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямой BC, а через вершины B и C — другая окружность, касающаяся прямой AB. Продолжение общей хорды BD этих окружностей пересекает отрезок AC в точке E, а продолжение хорды AD одной окружности пересекает другую окружность в точке F.

а) Доказать, что площади треугольников ABC и ABF равны.

б) Найти отношение AE : EC, если AB = 5 и BC = 9.

Окружность с центром в O₁ будем называть первой окружностью, с центром в O₂ — второй окружностью.

а) У треугольников ABC и ABF общее основание AB. Значит, для равенства площадей надо доказать равенство их высот, опущенных из вершин C и F соответственно. Следовательно, надо доказать параллельность прямых AB и FC: это можно получить, если вывести равенство углов ∠AFC и ∠BAF (накрест лежащие).

Во-первых, во второй окружности углы ∠DBC и ∠DFC равны, так как они опираются на одну и ту же дугу DC.

Во-вторых, угол между касательной к окружности и хордой равен половине дуги, опирающейся на эту хорду. Тогда из первой окружности получим, что (вписанный угол равен половине центрального). Таким образом получили, что ∠BAF = ∠AFC, то есть AB || FC, значит, высоты треугольников равны, и их площади совпадают.

Что и требовалось доказать.

б) Аналогично углам ∠BAD и ∠BDC получаем, что ∠ABD = ∠BCD (угол ∠ABD между касательной ко второй окружности и хордой BD равен углу ∠BCD, опирающемуся на эту хорду). Таким образом получаем, что ΔABD

ΔBCD (по 2 углам). Так как ∠ADB = ∠BDC = α, то ∠ADE = π − α, ∠CDE = π − α, то есть ∠ADE = ∠CDE, откуда следует, что DE — биссектриса треугольника ADC. Тогда из свойства биссектрисы имеем соотношение

Теперь воспользуемся подобием треугольников ABD и BCD:

Из второго равенства выше выразим BD: Подставим это в первое равенство:

Окончательно получаем, что

В треугольнике ABC проведена биссектриса CM, касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке P.

Б) Найдите длину CP, если известно, что AM = 5, BM = 4.

А) Рассмотрим Δ APC и Δ CPB. У них: ∠P — общий, ∠CAP = ∠BCP (как измеряющиеся половиной градусной меры дуги BC). Следовательно, Δ APC

Δ CPB, откуда или BC : AC = CP : AP, что и требовалось доказать.

Б) По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника: По доказанному выше: значит,

Но по свойству секущей и касательной, проведенных к окружности из одной и той же точки имеем: Следовательно,

Треугольник АВС (АВ Ответ: б)

В треугольнике ABC сторона AC больше стороны BC. Биссектриса CL пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке K. На стороне AC отмечена точка P так, что

а) Докажите, что точки A, P, L, K лежат на одной окружности.

б) Найдите площадь четырехугольника APLK, если

поэтому четырехугольник вписанный. В равенствах использованы углы, опирающиеся на дугу сумма углов треугольника биссектриса и условие о равенстве углов, вертикальные углы и, наконец, сумма углов треугольника

б) По свойству биссектрисы откуда Поскольку и (последнее равенство верно, поскольку ), треугольники подобны (первые два даже равны, потому что у них общая сторона ). Тогда:

Площадь найдем по формуле Герона:

Ответ:

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и CE. Найдите длину отрезка DE, если AC = 6, AE = 2, CD = 3.

Обозначим Тогда по свойству биссектрисы: и откуда

Значит, Тогда Откуда

Ответ:

Извините, конечно, но это определённо не очевидная теорема, которую знает каждый выпускник. Её даже на Википедии сложно найти, не то, чтобы в школьном курсе. Уверен, даже самый лояльный учитель за такое решение больше одного балла не даст.

Не знаю, что Вы там и где ищите в Википедии, но теорема эта общеизвестна, входит в обязательную школьную программу и есть в любом приличном учебнике.

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведены биссектрисы AK, BM, CP.

а) Докажите, что треугольник KMP — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника KMP, если известно, что площадь треугольника ABC равна 64, а косинус угла ВАС равен 0,3.

а) Известно, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведенную к его основанию, является осью его симметрии.

Рассмотрим и У них: — общий, AB = CB, как половины равных углов при основании равнобедренного треугольника. Значит, по второму признаку равенства треугольников. Отсюда: AK = CP.

При симметрии относительно прямой BM точки K и P переходят друг в друга, точка M — сама в себя. Следовательно, отрезки MP и MK перейдут друг на друга. Значит, MP = MK.

б) Из рассмотренной симметрии также следует: BH — ось симметрии MH — ось симметрии (H — точка пересечения BM и PK).

Пусть AB = BC = a, В прямоугольном треугольнике ABM: Это с одной стороны. С другой стороны,

Следовательно,

По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника: Если то

как два прямоугольных треугольника с общим острым углом.

Коэффициент подобия

Так как то:

Это задание встречалась ранее в варианте 106 А. Ларина: см. задачу 562077.

Аналоги к заданию № 562077: 508612 Все

Дан треугольник ABC. В нем проведены биссектрисы AM и BN, каждая из которых равна

а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если его основание равно 132.

Предложенная задача известна как теорема Штейнера–Лемуса «Если в треугольнике равны две биссектрисы, то этот треугольник равнобедренный». Исходя из этого имеем:

а) Лемма 1. Если две хорды окружности стягивают различные острые углы с вершинами на этой окружности, то меньшему углу соответствует меньшая хорда.

Доказательство. Две равные хорды стягивают равные углы с вершиной в центре окружности и равные углы (как их половины) с вершинами в соответствующих точках на окружности. Из двух неравных хорд более короткая, находясь дальше отцентра, стягивает меньший угол с вершиной в центре и, следовательно, меньший острый угол с вершиной на окружности.

Лемма 2. В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой.

Доказательство. Пусть ABC — треугольник, в котором Пусть отрезки BM и CNделят пополам углы В и С соответственно. Наша задача — доказать, что BM > CN.

Возьмем точку M‘ на отрезке BM так, чтобы Так как этот угол равен углу то четыре точки лежат на одной окружности.

то

По лемме 1 Следовательно,

Теперь докажем теорему Штейнера–Лемуса.

Предположим, что в треугольнике т.е. признак равнобедренного треугольника не выполняется. Тогда по лемме 2 что противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение о невыполнении равенства неверно.

б) Пусть угол при основании треугольника высота, проведенная к основанию, тогда: в по теореме синусов:

Поскольку отрицательное значение нас не интересует. Итак,

Ответ: б)

Окружность, проходящая через вершины A, C и D прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, пересекает меньшую боковую сторону AB в точке P и касается прямой BC. Известно, что AD = CD.

а) Докажите, что CP — биссектриса угла ACB.

б) В каком отношении прямая DP делит площадь трапеции?

a) Пусть O — центр окружности. Прямая OC перпендикулярна касательной BC, а так как хорда AD параллельна BC, прямая OC перпендикулярна прямой AD. Диаметр CC₁ перпендикулярен хорде AD, а значит, делит её пополам. Высота треугольника ACD является его медианой, значит, треугольник равнобедренный, AC = CD, а так как AD = CD, треугольник равносторонний. Тогда

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

Следовательно, CP — биссектриса угла ACB.

б) Пусть Тогда значит,

По свойству биссектрисы треугольника значит, Поэтому

На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что В каком отношении прямая DL делит сторону AB?

а) Пусть углы при основании ВС равнобедренного треугольника ABC равны 2α, тогда углы при основании BD равнобедренного треугольника LBD равны α. Но угол LCB является внешним углом треугольника LCD, он равен сумме углов CDL и CLD. Поэтому угол CLD также равен α, и, следовательно, треугольник LCD равнобедренный.

б) Пусть ВС = х, а АК — медиана и высота равнобедренного треугольника АВС. Тогда в прямоугольном треугольнике АКВ имеем: откуда

Биссектриса BL делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: поскольку получаем: В пункте а) было доказано, что треугольник LCD равнобедренный, поэтому Применим теорему Менелая к треугольнику ABC:

откуда

Ответ: 9 : 7 (или 7 : 9).

Приведем решение п. б), предложенное Олегом Цимбалистом.

Пусть Тогда как внешний угол треугольника BLD. По теореме синусов для треугольника BHL, имеем

Заметим теперь, что а По теореме синусов для треугольника AHL, имеем

Приведем ещё одно решение.

а) Обозначим тогда поэтому значит, треугольник LCD — равнобедренный.

б) Пусть H — точка пересечения DL с AB. Тогда

поэтому по двум углам. Отсюда

Поскольку то Пусть BC = x, AB = 3x. По теореме о биссектрисе откуда находим Тогда значит, откуда

Еще несколько подходов изложены при решении задания 513277.

Касательная в точке А к описанной окружности треугольника АВС пересекает прямую ВС в точке Е, AD — биссектриса треугольника АВС.

а) Докажите, что АЕ = ЕD.

б) Известно, что точка Е лежит на луче СВ и СЕ = 9, ВЕ = 4, Найдите расстояние от вершины В до прямой АС.

а) Обозначим тогда как угол между касательной и хордой. Тогда поэтому реугольник равнобедренный, что и требовалось.

б) По теореме о квадрате касательной тогда по теореме косинусов имеем

Далее, и по свойству биссектрисы откуда

Поскольку находим

Ответ: б)

В треугольнике ABC проведена биссектриса BK и на сторонах BA и BC взяты соответственно точки M и P так, что

а) Докажите, что прямая AC касается окружности, описанной около треугольника MBP.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника MBP, если известно, что

а) Обозначим Тогда и поэтому MBPK — вписанный четырехугольник. Заметим далее, что поскольку то прямая составляет с ровно такой же угол, как касательная в точке Значит, она и есть касательная.

Найдем по формуле для биссектрисы:

Найдем из треугольника по теореме косинусов. Заметим, что

по свойству биссектрисы. Имеем:

Окончательно:

Ответ: б)

Дан треугольник ABC, в котором медиана На биссектрисе СЕ выбрана точка F такая, что Через точку F проведена прямая l, параллельная BC.

а) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC до прямой l.

б) Найдите, в каком отношении прямая l делит площадь треугольника ABC.

По формуле для медианы имеем

откуда Обозначим за T точку пересечения прямой l с AB.

а) По свойству биссектрисы

то есть Поскольку прямая l параллельна прямой BC, треугольники BEC и TEF подобны с коэффициентом

поэтому и Поэтому расстояние между l и AB равно высоты треугольника ABC, опущенной из вершины A. Эта высота равна

Найдем теперь радиус описанной окружности треугольника:

Обозначим центр окружности за O. Тогда треугольник OBC — равнобедренный. Найдем его высоту:

Расстояние до прямой l будет меньше на величину, равную расстоянию между прямыми, которое мы уже нашли. Именно меньше, поскольку центр описанной окружности лежит на луче, проходящем через B и перпендикулярно пересекающем AC. Таким образом, получаем:

б) Поскольку прямая l отсекает треугольник, подобный ABC с коэффициентом

то площадь этого треугольника составляет от площади исходного треугольника, а площадь второй части тогда — от нее. Отношение получается

Ответ: а) б)

На сторонах AC, AB и BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вне треугольника ABC построены равнобедренные прямоугольные треугольники AKC, ALB и BMC с прямыми углами K, L и M соответственно.

а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM.

б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 4.

значит, четырёхугольник LACB вписанный. Хорды AL и LB описанной около четырёхугольника LACB окружности равны. Значит, равны между собой стягиваемые этими хордами дуги, а также опирающиеся на эти дуги вписанные углы ACL и LCB. Тогда углы ACL и LBC равны 45°.

По условию углы KCA и MCB равны 45°. Следовательно,

а значит, LC — высота треугольника KLM.

б) Обозначим отрезки буквами для удобства: BC — a, AC — b, AB — c и CL — d. P — точка пересечения CL и AB. Тогда по доказанному в пункте а) отрезок CP — биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрисы AP : PB = AC : CB = b : a, AP + PB = AB = c. Отсюда

Поскольку углы ACL и LBC равны 45°, получаем, что треугольники ACL и PAL подобны по двум углам, тогда

Площадь треугольника KLM равна половине произведения его высоты LC, обозначенной буквой d, на сторону, являющейся основанием треугольника и равным

Следовательно, искомая площадь равна

а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM.

б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 6.

По условию углы KCA и MCB равны 45°. Следовательно,

а значит, LC — высота треугольника KLM.

б) Для удобства обозначим отрезки буквами: BC — a, AC — b, AB — c и CL — d. Пусть P — точка пересечения CL и AB. Тогда по доказанному в пункте а) отрезок CP — биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрисы AP : PB = AC : CB = b : a, AP + PB = AB = c. Отсюда

Поскольку углы ACL и LBC равны 45°, получаем, что треугольники ACL и PAL подобны по двум углам, тогда

Площадь треугольника KLM равна половине произведения его высоты LC, обозначенной буквой d, на сторону, являющуюся основанием треугольника и равную

Следовательно, искомая площадь равна

Аналоги к заданию № 562144: 562151 Все

В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что BM : MN = 1 : 2. Найдите BC если AB = 12.

Пусть E — точка пересечения биссектрис, Так как то точка M лежит между точками B и N возможны два случая.

1. Точка E — внутри параллелограмма. Треугольники ABN и DMC равнобедренные, следовательно, откуда, учитывая, что получаем

2. Точка E — вне параллелограмма. Тогда откуда учитывая, что получаем

Ответ: или

НЕ сказано как располагаются точки M и N => можно поменять местами и решить ещё два случая

Если поменять местами точки M и N, то станет невозможным выполнение условия BM:MN = 1:2.

Откуда мы узнали, что ABN и DMC равнобедренные?

В каждом из них есть по два равных угла

Зачем городить огород?

1 случай. Треугольники и равнобедренные, Аналогично второй случай!

Биссектриса CD угла ACB при основании равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) делит сторону AB так, что AD = BC = 2.

а) Докажите, что CD = BC.

б) Найдите площадь треугольника ABC.

а) По свойству биссектрисы получим:

Воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC:

Осталось по теореме косинусов найти CD из треугольника BCD:

Таким образом CD = BC = 2. Что и требовалось доказать.

б) Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

Ответ:

Примечание: в данной задаче получилось, что ADC равнобедренный, откуда откуда

Две окружности с центрами O и Q пересекаются друг с другом в точках A и B, пересекают биссектрису угла OAQ в точках C и D соответственно. Отрезки OQ и AD пересекаются в точке E, причем площади треугольников OAE и QAE равны соответственно 18 и 42.

а) Докажите, что треугольники AQO и BDC подобны.

б) Найдите площадь четырехугольника OAQD.

а) Проведем дополнительно отрезки OB и BQ: треугольники OAQ и OBQ равны по 3 сторонам (OA = OB = r, QA = QB = R, OQ — общая). Отсюда следует равенство углов: Вписанный угол BDA опирается на ту же дугу BA, что и центральный угол AQB. Тогда Далее, в меньшей окружности с центром O рассмотрим центральный угол изображенный синим на рисунке, который опирается на бОльшую дугу AB. На эту же дугу опирается вписанный угол который в 2 раза меньше центрального. Тогда:

Таким образом получили, что треугольники AOQ и BCD подобны по 2-м углам. Что и требовалось доказать.

б) Выпишем площади треугольников AOE и AEQ:

Тогда можно обозначить AO = 3x, AQ = 7x.

Из основного свойства биссектрисы в треугольнике получаем: AO : OE = AQ : EQ, откуда можем записать, что OE = 3y, EQ = 7y.

Далее, треугольники AOE и DQE подобны по 2 углам

так как треугольник AQD равнобедренный; как вертикальные Отсюда следует, что

Чтобы найти площадь треугольника ODE, заметим, что высота его совпадает с высотой треугольника QED (на рисунке не изображена), и отличие только в длинах оснований, тогда

Ответ:

Окружность радиуса с центром на стороне AC треугольника ABC касается сторон AB и BC, равных соответственно 10 и 24.

а) Докажите, что треугольник ABC — прямоугольный.

б) Найдите высоту, опущенную из вершины прямого угла треугольника ABC.

а) Обозначим центр окружности за O, а точки касания окружности со сторонами B и C за K и L соответственно. Очевидно BO — биссектриса угла ABC. Пусть Тогда