Что общего у квадрата и ромба
Основные геометрические фигуры
Основные понятия
Основные геометрические фигуры на плоскости — это точка и прямая линия. А простейшие фигуры — это луч, отрезок и ломаная линия.
Минимальный объект в геометрии — точка. Ее особенность в том, что она не имеет размеров: у нее нет высоты, длины, радиуса. У точки можно определить только ее расположение, которое принято обозначать одной заглавной буквой латинского алфавита.
Из множества точек может получится линия, а из нескольких соединенных между собой линий — геометрические фигуры.
Обучение на курсах по математике поможет быстрее разобраться в видах и свойствах геометрических фигур.
Каждая математическая фигура имеет собственную величину, которую можно измерить при помощи формул и внимательности.
Площадь — это одна из характеристик замкнутой геометрической фигуры, которая дает нам информацию о ее размере. S (square) — знак площади.
Периметром принято называть длину всех сторон многоугольника. Периметр обозначается заглавной латинской P.
Если параметры переданы в разных единицах измерения длины, нужно перевести все данные к одной единице измерения.
Популярные единицы измерения площади:
Геометрические тела — часть пространства, которая ограничена замкнутой поверхностью своей наружной границы.
Если все точки фигуры принадлежат одной плоскости, значит она является плоской.
Объемная фигура — геометрическая фигура, у которой все точки не находятся на одной плоскости.
Примеры объемных геометрических фигур:
Рассмотрим подробнее некоторые фигуры, разберем их определения и свойства.
Прямоугольник
Прямоугольник — четырехугольник, у которого все стороны пересекаются под прямым углом.
Узнать площадь прямоугольника помогут следующие формулы:
Диагональ — это отрезок, который соединяет противоположные вершины фигуры. Он есть во всех фигурах, число вершин которых больше трех.
Периметр прямоугольника — сумма длины и ширины, умноженная на два.
P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.
Квадрат
Квадрат — это тот же прямоугольник, у которого все стороны равны.
Найти площадь квадрата легко:
Периметр квадрата — это длина стороны, умноженная на четыре.
P = 4 × a, где a — длина стороны.
Трапеция
Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две не параллельны.
Основное свойство: в трапецию можно вписать окружность, если сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.
Как найти площадь трапеции:
S = (a + b) : 2 × h, где a, b — два разных основания, h — высота трапеции.
Построить высоту трапеции можно, начертив отрезок так, чтобы он соединил параллельные стороны и был расположен перпендикулярно к этим основаниям.
Формула периметра для равнобедренной трапеции отличается от прямоугольника тем, что у равнобедренной трапеции есть две равные стороны.
P = a + b + 2 × c, где a, b — параллельные стороны, c — две длины одинаковых сторон.
Параллелограмм и ромб
Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны
Ромб — это параллелограмм с равными сторонами.
Общие формулы расчета площади фигур:
Периметр ромба — это произведение длины стороны на четыре.
P = 4 × a, где a — длина стороны.
Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.
P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.
Треугольник
Треугольник — это такая фигура, которая образуется, когда три отрезка соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Эти три точки принято называть вершинами, а отрезки — сторонами.
Рассчитать площадь треугольника можно несколькими способами по исходным данным, давайте их рассмотрим.
S = 0,5 × a × h, где a — длина основания, h — высота, проведенная к основанию.
Основание может быть расположено иначе, например так:
При тупом угле высоту можно отразить на продолжение основания:
При прямом угле основанием и высотой будут его катеты:
S = 0,5 × a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.
S = (a × b × с) : 4 × R, где a, b и с — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности.
S = p × r, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.
Периметр треугольника — это сумма длин трех его сторон.
P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.
Формула измерения периметра для равностороннего треугольника — это длины стороны, умноженная на три.
P = 3 × a, где a — длина стороны.
Круг — это множество точек на плоскости, которые удалены от центра на равном радиусу расстоянии.
Окружность — это граница круга.
Радиус окружности — это расстояние от центра окружности до любой точки на ней.
Диаметр круга — это отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходящий через ее центр. Диаметр круга равен двум его радиусам.
Формулы площади круга:
Периметр круга или длина окружности — это произведение радиуса на два Пи или произведение диаметра на Пи.
L = d × π = 2 × r × π, где d — диаметр, r — радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.
Разница между ромбом и квадратом
Взрослому человеку такой вопрос может показаться наивным, а вот школьники и маленькие дети часто задают его. И порой одной лишь демонстрации геометрических фигур может оказаться мало. Поэтому несколько простых закономерностей помогут разобраться и понять отличия между указанными категориями.
Определение
Ромб – это четырёхугольная геометрическая фигура, все стороны которой равны. Противоположные стороны параллелограмма параллельны, а диагонали всегда пересекаются под углом в 90 градусов и делят угол пополам.
Ромб
Квадрат – это ромб, внутренние углы которого составляют 90 градусов, а все стороны равны. Его главная особенность – полная симметричность, что послужило широкому распространению геометрической фигуры. Диагонали делят квадрат на 4 одинаковых прямоугольных треугольника.
Сравнение
Итак, вопрос действительно несложен. Ромб – понятие более широкое, и квадрат – всего лишь специфический вид данной фигуры. Многие их свойства абсолютно идентичны. У квадрата и ромба все стороны равны, а диагонали пересекаются под прямым углом. Тем не менее, есть некоторые фундаментальные различия. У квадрата все внутренние углы равны и составляют 90 градусов, у ромба равны лишь противоположные углы. Подсчитать площадь квадрата легко: нужно умножить длину стороны на себя же. Чтобы узнать площадь ромба, нужно перемножить его диагонали, а полученный результат разделить на два.
Чем отличается ромб от квадрата
Взрослому человеку такой вопрос может показаться наивным, а вот школьники и маленькие дети часто задают его. И порой одной лишь демонстрации геометрических фигур может оказаться мало. Поэтому несколько простых закономерностей помогут разобраться и понять отличия между указанными категориями.
Что такое ромб и квадрат
Ромб – это четырёхугольная геометрическая фигура, все стороны которой равны. Противоположные стороны параллелограмма параллельны, а диагонали всегда пересекаются под углом в 90 градусов и делят угол пополам. 
Ромб
Квадрат – это ромб, внутренние углы которого составляют 90 градусов, а все стороны равны. Его главная особенность – полная симметричность, что послужило широкому распространению геометрической фигуры. Диагонали делят квадрат на 4 одинаковых прямоугольных треугольника.
Разница между ромбом и квадратом
Итак, вопрос действительно несложен. Ромб – понятие более широкое, и квадрат – всего лишь специфический вид данной фигуры. Многие их свойства абсолютно идентичны. У квадрата и ромба все стороны равны, а диагонали пересекаются под прямым углом. Тем не менее, есть некоторые фундаментальные различия. У квадрата все внутренние углы равны и составляют 90 градусов, у ромба равны лишь противоположные углы. Подсчитать площадь квадрата легко: нужно умножить длину стороны на себя же. Чтобы узнать площадь ромба, нужно перемножить его диагонали, а полученный результат разделить на два.
TheDifference.ru определил, что отличие ромба от квадрата заключается в следующем:
Объём понятия. Квадрат – частный случай ромба. Второе понятие является более широким.
Внутренние углы. У квадрата все углы равны 90 градусов, у ромба данное значение может варьироваться.
Вычисление площади. Узнать площадь ромба проще всего, перемножив диагонали и разделив на 2. У квадрата действие ещё проще: достаточно одну сторону умножить на саму себя.
Урок по математике с интерактивной презентацией «Ромб, квадрат»
Выбранный для просмотра документ М О Й Открытый урок в 8 классе ПрямоугольникРомбКвадрат.doc
Открытый урок 23 октября 2018 г.
Цель : сформировать у учащихся понятия «ромб», «квадрат» как частных случаев параллелограмма.
— предметные: умение проводить классификацию, логические обоснования, доказательства математических утверждений; формирование умения построения математической модели решения задач.
— метапредметные : умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач, понимать необходимость их проверки; развивать логическое мышление, познавательную активность и навыки научной речи.
— личностные : создание педагогических условий для формирования у обучающихся положительной мотивации к учению, умения преодолевать посильные трудности, чувства коллективизма, взаимовыручки и уважения друг к другу, умения вести диалог, понимать смысл поставленной задачи; выстраивать аргументацию, приводить примеры.
Тип урока : открытие новых знаний.
Основные методы обучения: наглядный, репродуктивный, практический и исследовательский.
Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная, групповая.
Техническое обеспечение урока: модели четырехугольников, компьютер, карточки для исследовательской работы.
Здравствуйте, уважаемые гости. Здравствуйте, ребята!! Начинаем урок.
Кто ничего не замечает,
Тот ничего не изучает.
Кто ничего не изучает-
Тот вечно хнычет и скучает. Сл.1
Я надеюсь, что у нас сегодня на уроке таких не будет.
2. Актуализация знаний обучающихся
Что такое параллелограмм?
Четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны
Какими свойствами он обладает?
Противоположные стороны равны, противоположные углы равны.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам
По каким признакам можно сказать, что четырехугольник является параллелограммом?
Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник – параллелограмм.
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то такой четырехугольник – параллелограмм.
Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник – параллелограмм.
Что такое прямоугольник?
Это параллелограмм, у которого все углы прямые (один угол прямой, все углы равны)
Какое свойство его отличает?
Диагонали прямоугольника равны
-«Найди ошибку на чертеже» Сл.2 проверим
1. 
2. 
3. 
3. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности
Класс делю на 2 группы. Каждой группе даю набор четырехугольников.
Задание: Исключите лишнюю. Почему? (Данный четырехугольник называется трапецией)
— Что общего у оставшихся фигур? Как бы вы их назвали?(параллелограммы)
Объедините параллелограммы в 2 группы. По какому признаку вы это сделали?
Свойства, каких из данных фигур вам уже известны? (Параллелограмм, трапеция, прямоугольник).
-Какие фигуры нам предстоит сегодня изучить на уроке? (Ромб и квадрат) Сл.3
Запишите в тетради дату и тему урока.
-Что вы уже знаете об этих фигурах?
4. Открытие новых знаний
Сейчас вы будете «открывателями» этих свойств.
Практическая работа (исследовательского характера).
Исследуйте стороны, углы и диагонали ромба и заполните таблицу
Название фигуры КВАДРАТ
Исследуйте стороны, углы и диагонали квадрата и заполните таблицу.
П
араллелограмм
К
вадрат
1. 
, 
1. 
, 
2. 
, 
,
, 
1. 
Название фигуры РОМБ__
Исследуйте стороны, углы и диагонали квадрата и заполните таблицу.
Параллелограмм
1. ,
1. 
,
2. , ,
, 
1.
По окончании работы, каждая группа, сообщает о результате выполненных исследований и представляет свои выводы. Сл.4
-первая группа познакомит нас со свойствами ромба.
В ходе выступления каждой группы заполняется таблица, представленная на интерактивной доске, которую учащиеся должны заполнить на карточке.
-Молодцы, ребята! С ромбом мы с вами познакомились, теперь пришло время для знакомства с квадратом. (выступает 2 группа)
-Квадрат замечательная фигура, само совершенство. Он обладает всеми изученными нами свойствами. Давайте проверим! Сл.5
Так как квадрат является:
1.параллелограммом, то его диагонали, пересекаясь, делятся …
2.прямоугольником, то все его углы …
3.ромбом, (а почему он является ромбом? это так, вспомните картинку с шахматной доской, на ней же квадраты, а со стороны как будто ромбы!)
то все его стороны …
а диагонали является … его углов и взаимно …
А есть ли у ромба особое свойство?
У ромба есть отличительное свойство: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Ребята, а какие ассоциации у вас есть с выражением «деление пополам»? (биссектриса)
Здорово! И это нам очень пригодится сегодня! А что вам напоминают слова «взаимно перпендикулярны»? (высота, оси, перпен. прямые)
Замечательно! А в какой фигуре вы обычно встречаете биссектрису и высоту? (в треугольнике)
Так-так… а какое еще понятие обычно идет рука об руку с биссектрисой и высотой? (медиана)
В точку! А в каком треугольнике все эти понятия становятся единым целым? (в раснобедр. треуг.)
Почему он равнобедренный? ( AB = AD как стороны ромба)
Значит, мы хотим доказать, что в равнобедренном треугольнике АС – биссектриса и высота. Значит, она должна быть медианой. Это так? Почему? (т.к. BO = OD диагонали точкой пересечения делятся пополам)
Диагонали прямоугольника равны.+
Все углы квадрата прямые.+
Диагонали параллелограмма равны.-
В ромбе все стороны равны.+
Диагонали прямоугольника перпендикулярны.-
В параллелограмме противоположные стороны равны.+
Диагонали ромба равны-
Что мы уже знали о ромбе и квадрате? В чём наши знания и новая информация совпали?
Какие наши знания оказались ошибочными?
Что осталось непонятным, требует уточнения, объяснения, конкретизации?
4. Первичное закрепление материала
Учащимся предлагается решить задачи, каждая из которых заранее заготовлена, на интерактивной доске.
— условия задач на интерактивной доске;
— с классом выделяем главный вопрос, намечаем план решения, темп должен быть очень быстрым.
1. Дано: АВСД – ромб. АВ=8 см. Найти: периметр ромба. Сл.6
Найти углы ромба Сл.7
3. Сумма трех сторон ромба равна 24 м. Найдите четвертую сторону . Сл.8
5. А BCD –квадрат. Найти угол ADB Сл.9
(тр. ABC равносторонний. P =42 см)
Интерактивный тест (выполняют на листочках, меняются в парах. Проверяют по интерактивной доске)
— Что мы теперь знаем о ромбе и квадрате?
-Какие признаки ромба мы узнали?
-С каким признаком квадрата мы познакомились?
-Какими свойствами различаются квадрат и ромб?
Проверим, все ли поставленные цели выполнены
Какая фигура из изученных четырехугольников основная и почему?
Наш урок подходит к концу и наступает момент подведения итогов.
Урок полезен, все понятно.
Лишь кое-что чуть-чуть неясно.
Еще придется потрудиться.
Да, трудно все-таки учиться!
Дети подходят и ставят смайлик у тех слов, которые им больше всего подходят по окончании урока.
— Я надеюсь, что урок принес радость не только мне, но и вам, уважаемые мои ученики (На слайде появляется солнце).
— А те знания, что вы приобрели, сегодня пусть останутся с вами навсегда.
Собрались все четырехугольники на лесной поляне и стали обсуждать вопрос о выборе своего короля. Долго спорили и никак не могли прийти к единому мнению. И вот один старый параллелограмм сказал: «Давайте отправимся все в царство четырехугольников. Кто первым придет, тот и будет королем». Все согласились. Рано утром отправились все в далекое путешествие. На пути путешественников повстречалась река, которая сказала: «Переплывут меня только те, у кого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам». Часть четырехугольников осталась на берегу, остальные благополучно переплыли и отправились дальше. На пути им встретилась высокая гора, которая сказала, что даст пройти только тем, у кого диагонали равны. Несколько путешественников осталось у горы, остальные продолжили путь. Дошли до большого обрыва, где был узкий мост. Мост сказал, что пропустит тех, у кого диагонали пересекаются под прямым углом. По мосту прошел только один четырехугольник, который первым добрался до царства и был провозглашен королем.
Кто стал королем? (квадрат)
Кто был основным соперником? (прямоугольник)
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Квадрат – это параллелограмм, у которого все стороны равны, и все углы прямые.
1. 
.
1.
1.
1. 
1. , .
2.
1.
1. 
, AO=OC,BO=OD
2. 
1. , AO=OC,BO=OD
3.