Существуют ли такие натуральные числа m и n что mn m n 2019
а) Существует ли такое натуральное число n, что числа n 2 и (n + 17) 2 имеют одинаковые остатки при делении на 69?
б) Существует ли такое натуральное число n, что числа n 2 и (n + 17) 2 имеют одинаковые остатки при делении на 68?
в) Пусть k(m) — количество трехзначных натуральных чисел n, таких, что числа n 2 и (n + m) 2 имеют одинаковые остатки при делении на 68, причем m — двузначное натуральное число. Определите наименьшее значение k, отличное от нуля.
а) Разность этих чисел равна
Если выбрать n так, чтобы 
(то есть ), то полученное число будет кратно 69, а изначальные два будут давать одинаковые остатки от деления на 68.
б) Одно из этих чисел четно, а другое нечетно. Значит, они не могут давать одинаковые остатки от деления на четное число.
в) Как и в пункте а) получим, что 
кратно 68. Если m нечетно, то это произведение двух нечетных чисел и оно не кратно 68. Пусть 
тогда
кратно 68. То есть 
кратно 17. Если x кратно 17, то все такие числа кратны 17, что нам невыгодно. Значит, кратно 17. Подходящие n попадаются через каждые 17 чисел. В качестве x можно выбирать числа от 5 до 49 (поскольку 2x — двузначное число).
Среди чисел от 100 до 984 ровно 52 числа с каждым остатком от деления на 17. А среди чисел от 985 до 999 нет, например, числа с остатком 14 (таким числом было бы 1000). Поэтому если выбрать (то есть ), то будет 52 подходящих числа.