найдите все натуральные для которых не больше чем в ответе укажите сумму всех таких

Вариант №5 с сайта К. Полякова

Решение вариант №5 ЕГЭ с сайта Константина Полякова

На рисунке справа схема дорог Н-ского района изображена в виде графа, в таблице содержатся сведения о длинах этих дорог (в километрах).

Так как таблицу и схему рисовали независимо друг от друга, то нумерация населённых пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на графе.
Определите длину кратчайшего пути из пункта Г в пункт В.

Ответ: 25

Логическая функция F задаётся выражением

На рисунке приведён частично заполненный фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий неповторяющиеся строки.
Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

print(‘x y z w’) for x in 0, 1: for y in 0, 1: for z in 0, 1: for w in 0, 1: F = (x == (not z))

В фрагменте базы данных представлены сведения о родственных отношениях.
Определите мужчину, который впервые стал отцом в самом раннем возрасте, и запишите в ответе его идентификатор (ID).

Ответ: 367

По каналу связи передаются сообщения, содержащие только семь букв: А, Б, К, О, Н, Р, Я. Для передачи используется двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Кодовые слова для некоторых букв известны:

Какое наименьшее количество двоичных знаков потребуется для кодирования слова КОРАН?

Ответ: 15

Ответ: 86

Определите, при каком наименьшем целом введённом значении переменной d программа выведет число 192.

var s, n, d: integer; begin readln (d); s := 0; n := 0; while n using namespace std; int main() < int d, s = 0, n = 0; cin >> d; while (n

Музыкальный фрагмент был записан в формате моно, оцифрован и сохранён в виде файла без использования сжатия данных. Размер полученного файла – 70 Мбайт. Затем тот же музыкальный фрагмент был записан повторно в формате стерео (двухканальная запись) и оцифрован с разрешением в 4 раза выше и частотой дискретизации в 3,5 раза меньше, чем в первый раз. Сжатие данных не производилось.
Укажите размер файла в Мбайт, полученного при повторной записи.

Ответ: 160

Юрий составляет 4-буквенные слова из букв П, Р, И, К, А, З. Каждую букву можно использовать не более одного раза, при этом в слове нельзя использовать более одной гласной.

Сколько различных кодов может составить Юрий?

Ответ: 216

Откройте файл электронной таблицы 9-0.xls, содержащей результаты ежечасного измерения температуры воздуха на протяжении трёх месяцев.
Найдите среднее значение измерений, в которых температура не превышала 15 градусов. В ответе запишите только целую часть получившегося числа.

Ответ: 12

С помощью текстового редактора определите, сколько раз, не считая сносок, встречаются личные местоимения (я, ты, он, она, оно), без учета регистра в тексте А.П. Чехова «Воры» (файл 10-1.docx). В ответе укажите только число.

Ответ: 141

При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся пароль, состоящий из 6 символов и содержащий только символы из 7-буквенного набора А, В, Е, К, М, Н, О. В базе данных для хранения сведений о каждом пользователе отведено одинаковое и минимально возможное целое число байт. При этом используют посимвольное кодирование паролей, все символы кодируются одинаковым и минимально возможным количеством бит. Кроме собственно пароля для каждого пользователя в системе хранятся дополнительные сведения, для чего отведено 10 байт.
Определите объём памяти в байтах, необходимый для хранения сведений о 100 пользователях.

Ответ: 1300

Исполнитель Редактор получает на вход строку цифр и преобразовывает её. Редактор может выполнять две команды, в обеих командах v и w обозначают цепочки цифр.

Дана программа для исполнителя Редактор:

Какая строка получится в результате применения приведённой программы к строке вида 1…13…3 (2018 единиц и 2050 троек)?

s = 2018*’1’+2050*’3′ while «111» in s: s = s.replace( «111», «2», 1 ) s = s.replace( «222», «3», 1 ) s = s.replace( «333», «1», 1 ) print(s)

Ответ: 332113

На рисунке изображена схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К, Л, М. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой.
Сколько существует различных путей из города А в город М, не проходящих через город Е?

Ответ: 30

записали в системе счисления с основанием 3.
Найдите сумму цифр в этой записи. Ответ запишите в десятичной системе.

Ответ: 18

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m ». Для какого наименьшего натурального числа А формула

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х )?

Определите количество натуральных значений n из отрезка [1; 1000], для которых все цифры значения F(n) чётные.

Ответ: 33

Рассматривается множество целых чисел, принадлежащих отрезку [1100;11000], которые делятся на 6 и не делятся на 7, 13, 17 и 23.
Найдите количество таких чисел и максимальное из них. В ответе запишите два числа через пробел: сначала количество, затем максимальное число.

a = [n for n in range(1100,11000+1) if (n%6==0 and n%7!=0 and n%13!=0 and n%17!=0 and n%23!=0)] print(len(a),max(a))

Ответ: 1178 10992

Квадрат разлинован на N×N клеток (1

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 40. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший позицию, в которой в кучах будет 40 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было 9 камней, во второй куче – S камней, 1 ≤ S ≤ 30. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Ответьте на следующие вопросы:
Вопрос 1 (задание 19). Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Назовите минимальное значение S, при котором это возможно.
Вопрос 2 (задание 20). Найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть первым ходом, но может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Вопрос 3 (задание 21). Сколько существует значений S, при которых у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и при этом у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

def f(x,y,p): if x+y>=40 and p==3: return 1 elif x+y =40 and p==4: return 1 elif x+y 40: return 0 elif p%2==1: return f(x+1,y,p+1)+f(x*2,y,p+1)+f(x,y+1,p+1)+f(x,y*2,p+1) else: return f(x+1,y,p+1)*f(x*2,y,p+1)*f(x,y+1,p+1)*f(x,y*2,p+1) for i in range (1,1000): if f(9,i,1): print(i)

def f(x,y,p): if x+y>=40 and (p==3 or p==5): return 1 elif x+y 40: return 0 elif p%2==0: return f(x+1,y,p+1)+f(x*2,y,p+1)+f(x,y+1,p+1)+f(x,y*2,p+1) else: return f(x+1,y,p+1)*f(x*2,y,p+1)*f(x,y+1,p+1)*f(x,y*2,p+1) for i in range (1,1000): if f(9,i,1): print(i)

Ответ:

Укажите наименьшее из таких чисел x, при вводе которых алгоритм печатает сначала 3, а потом 15.

var x, a, b: integer; begin readln(x); a:=0; b:=1; while x > 0 do begin a:= a + 1; b:= b*(x mod 10); x:= x div 10; end; writeln(a); write(b); end.

x = int(input()) a = 0 b = 1 while x > 0: a = a + 1 b = b*(x % 10) x = x // 10 print(a) print(b)

for x_ in range(1,1001): x = x_ a = 0 b = 1 while x > 0: a = a + 1 b = b*(x % 10) x = x // 10 if a==3 and b==15: print(x_) break

Ответ: 135

Исполнитель Калькулятор преобразует число на экране. У исполнителя есть три команды, которым присвоены номера:

Программа для исполнителя Калькулятор – это последовательность команд.
Сколько существует программ, для которых при исходном числе 1 результатом является число 18?

Источник

Найдите все натуральные для которых не больше чем в ответе укажите сумму всех таких

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

чисел () называются близкими, если каждое из них меньше, чем сумма всех чисел, деленная на Пусть . — n близких чисел, — их сумма.

а) все они положительны;

б) всегда

в) всегда

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

На доске написаны числа 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/11 и 1/12.

а) Докажите, что как бы мы ни расстaвляли знаки «+» и «−» между этими числами, выражение не будет равно 0.

б) Какое наименьшее количество написанных чисел необходимо стереть с доски для того, чтобы после некоторой расстановки «+» и «−» между оставшимися числами значение выражения равнялось 0?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Натуральные числа и получаются друг из друга перестановкой цифр. Докажите, что

а) суммы цифр чисел и равны;

б) если и чётные, то суммы цифр чисел и равны;

в) суммы цифр чисел и равны.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Для любого натурального числа через обозначим такое наибольшее натуральное число, что для любого натурального числа не превосходящего число представимо в виде суммы квадратов натуральных чисел.

а) Докажите для любого неравенство

б) Найдите хотя бы одно такое натуральное число что

в) Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных что

Источник

Найдите все натуральные для которых не больше чем в ответе укажите сумму всех таких

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Каждое из чисел a₁, a₂, …, a₃₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

в) Пусть S₄ = 4745. Найдите все значения, которые может принимать S₂.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В строку подряд написано 1000 чисел. Под каждым числом a первой строки напишем число, указывающее, сколько раз число a встречается в первой строке. Из полученной таким образом второй строки аналогично получаем третью: под каждым числом второй строки пишем, сколько раз оно встречается во второй строке. Затем из третьей строки так же получаем четвёртую, из четвёртой — пятую, и так далее.

а) Докажите, что некоторая строчка совпадает со следующей.

б) Докажите, что 11‐я строка совпадает с 12‐й.

в) Приведите пример такой первоначальной строчки, для которой 10‐я строка не совпадает с 11‐й.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, 1/4,… выделить арифметическую прогрессию

в) длиной k, где k — любое натуральное число?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Даны две последовательности: 2, 4, 8, 16, 14, 10, 2 и 3, 6, 12. В каждой из них каждое число получено из предыдущего по одному и тому же закону.

а) Найдите этот закон.

б) Найдите все натуральные числа, переходящие сами в себя (по этому закону).

в) Докажите, что число 21991 после нескольких переходов станет однозначным.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В последовательности 19752. каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретится ли в этой последовательности:

а) набор цифр 1234; 3269;

б) вторично набор 1975;

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Целые числа от 1 до n записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Может ли случиться так, что сумма каждого числа и записанного под ним есть точный квадрат

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Рассматривается последовательность 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, ….

а) Существует ли арифметическая прогрессия длины 5 составленная из членов этой последовательности?

б) Можно ли составить арифметическую прогрессию бесконечной длины из этих чисел?

в) Может ли в прогрессии быть 2013 членов?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 792 и

из них образуют геометрическую прогрессию?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.

а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.

б) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов?

в) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 40 больше, чем в первый раз.

б) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 13 членов?

в) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 16?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в) Найдите все возможные значение n, если сумма всех данных чисел равна 235.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 13?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 500?

в) Найдите все возможные значение n, если сумма всех данных чисел равна 57.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) Может ли выполняться равенство 5a₅ = 9a₄?

б) Может ли выполняться равенство 5a₅ = 7a₄?

в) При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 99?

б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 9. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.

в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 6,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Целое число S является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.

а) Может ли S равняться 8?

б) Может ли S равняться 1?

в) Найдите все значения, которые может принимать S.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2076.

а) может ли в последовательности быть три члена?

б) может ли в последовательности быть четыре члена?

в) может ли в последовательности быть меньше 2076 членов?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Число S таково, что для любого представления S в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 19.

а) Может ли число быть равным 38?

б) Может ли число быть больше 37,05?

в) Найдите максимально возможное значение S.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1512 и

из них образуют геометрическую прогрессию?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В последовательности из 80 целых чисел каждое число (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних чисел. Первый и последний члены последовательности равны 0.

а) Может ли второй член такой последовательности быть отрицательным?

б) Может ли второй член такой последовательности быть равным 20?

в) Найдите наименьшее значение второго члена такой последовательности.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Последовательность состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности, кроме первого и последнего, больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.

а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 40.

б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 6?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Последовательность состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности, кроме первого и последнего, больше среднего арифметического соседних стоящих рядом с ним членов.

а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырёх членов, сумма которых равна 50.

б) Может ли такая последовательность состоять из шести членов и содержать два одинаковых числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 10?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, среднее арифметическое чисел во второй группе равно В. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

На доске написано 24 числа: восемь «5», восемь «4» и восемь «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, среднее арифметическое чисел во второй группе равно В. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 12 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Последовательность состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. Известно, что M₁ = 1, M₂ = 2.

а) приведите пример такой последовательности, для которой M₃ = 1,5.

б) существует ли такая последовательность, для которой M₃ = 3?

в) Найдите наибольшее возможное значение M₃.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Конечная последовательность состоит из не обязательно различных натуральных чисел, причём при всех натуральных выполнено равенство

а) Приведите пример такой последовательности при n = 5, в которой a₅ = 4.

б) Может ли в такой последовательности некоторое натуральное число встретиться три раза?

в) При каком наибольшем n такая последовательность может состоять только из трёхзначных чисел?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Конечная возрастающая последовательность состоит из натуральных чисел, причём при всех натуральных выполнено равенство

а) Приведите пример такой последовательности при n = 4.

б) Может ли в такой последовательности при некотором выполняться равенство

в) Какое наименьшее значение может принимать a₁, если a_n = 667?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Конечная возрастающая последовательность состоит из различных натуральных чисел, причём при всех натуральных выполнено равенство

а) Приведите пример такой последовательности при

б) Может ли в такой последовательности при некотором выполняться равенство

в) Какое наименьшее значение может принимать если ?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Возрастающие арифметические прогрессии и состоят из натуральных чисел.

а) Существуют ли такие прогрессии, для которых ?

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых ?

в) Какое наибольшее значение может принимать произведение если ?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Последовательность состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. Известно, что

а) Приведите пример такой последовательности, для которой

б) Существует ли такая последовательность, для которой

в) Найдите наименьшее возможное значение

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а)

б)

в)

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

В последовательности a₁, a₂. a_n−1, a_n, состоящей из целых чисел, a₁ = 1, a_n = 235. Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 25.

а) Приведите пример такой последовательности.

б) Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?

в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) Может ли выполняться равенство 4a₅ = 7a₄?

б) Может ли выполняться равенство 5a₅ = 7a₄?

в) При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.

а) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу меньше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 5 дней?

б) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу больше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 4 дня?

в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причем в первый день один из мальчиков решил на одну задачу больше чем другой?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Вася и Петя решали задачи из сборника, причем каждый следующий день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя — на две задачи больше, чем в предыдущий. В первый день каждый решил хотя бы одну задачу, а в итоге каждый решил все задачи сборника.

а) Могло ли быть в сборнике 85 задач?

б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней?

в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 300.

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Вася и Петя решают задачи из сборника. Они начали решать задачи в один и тот же день, и решили в этот день хотя бы по одной задаче каждый. Вася решал в каждый следующий день на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя — на две задачи больше, чем предыдущий день. В итоге каждый из них решил все задачи из сборника.

а) Могло ли быть так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за пять дней?

б) Могло ли быть так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за десять дней?

в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причем в первый день Вася решил больше задач чем Петя, а за 7 дней Петя решил задач больше, чем Вася?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Готовясь к экзамену, Вася и Петя решали задачи из сборника, и каждый из них решил все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.

а) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 5 дней?

б) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 10 дней?

в) Какое наименьшее число задач могло быть в сборнике, если известно, что каждый из них решал задачи более 6 дней, в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а за семь дней Петя решил больше задач, чем Вася?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Последовательность натуральных чисел (a_n) состоит из 400 членов. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое больше предыдущего, либо на 98 меньше предыдущего.

а) Может ли последовательность (a_n) содержать ровно 5 различных чисел?

б) Чему может равняться если

в) Какое наименьшее значение может принимать наибольший член последовательности (a_n)?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

На доске написано n единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например, если изначально было написано n = 12 единиц, то могла получиться, например, такая сумма:

1 + 11 + 11 + 111 + 11 + 1 + 1 = 147.

а) Могла ли сумма равняться 150, если n = 60?

б) Могла ли сумма равняться 150, если n = 80?

в) Чему могло равняться n, если полученная сумма чисел равна 150?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4.

а) Может ли сумма составлять 282?

б) Может ли их сумма составлять 390?

в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2226?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Все члены последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 11 раз больше, либо в 11 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 2231.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трех членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Конечная последовательность состоит из необязательно различных натуральных чисел, причём при всех натуральных выполнено равенство

а) Приведите пример такой последовательности при n = 5, в которой a₅ = 4.

б) Может ли в такой последовательности некоторое натуральное число встретиться три раза?

в) При каком наибольшем n такая последовательность может состоять только из двузначных чисел?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

а) Можно ли при n = 4 написать на доске такие числа, чтобы также выполнялось равенство a₁ = a₄?

б) Можно ли при n = 100 написать на доске такие числа, сумма которых равна 2021?

в) При n = 10 на доске написаны такие числа, сумма которых равна 11. Какое наименьшее значение может принимать сумма их квадратов?

Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей

Все члены возрастающих арифметических прогрессий a₁, a₂. и b₁, b₂. являются натуральными числами.

Источник