На числовой прямой даны два отрезка укажите наименьшую возможную длину такого отрезка чтобы формула
На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 30] и Q = [14, 23]. Укажите наибольшую возможную длину промежутка A, для которого формула
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
обозначается операция эквивалентности (результат X
Y — истина, если значения X и Y совпадают).
(x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q; (x ∈ A) ≡ A.
Тогда, применив преобразование импликации, получаем:
Q) истинно только тогда, когда x ∈ [5; 14) и x ∈ (23; 30] (см. рисунок). В таком случае, для того, чтобы выражение было истинно при любом x, A должно лежать либо в промежутке [5; 14), либо (23; 30]. Следовательно, наибольшая возможная длина промежутка равна 14 − 5 = 9.
Разъясните, пожалуйста, разве длина промежутка [5; 14) равна 9? Ведь граничная точка не включена.
Вне зависимости от включения или исключения граничных точек длины промежутков (5; 14), [5; 14), (5; 14], [5; 14] равны 9.
На числовой прямой даны два отрезка: P = [25; 50] и Q = [32; 47]. Укажите наибольшую возможную длину промежутка A, для которого формула
(¬ (x 
A) → (x P)) → ((x A) → (x Q))
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
Преобразуем данное выражение:
(¬ (x A) → (x P)) → ((x A) → (x Q))
((x A) ∨ (x P)) → ((x 
A) ∨ (x Q))
¬((x A) ∨ (x P)) ∨ ((x A) ∨ (x Q))
(x A) ∧ (x P) ∨ (x A) ∨ (x Q)
(x A) ∨ (x Q)
Таким образом, либо x должен принадлежать Q, либо не принадлежать A. Это значит, что для достижения истинности для всех x, необходимо, чтобы A полностью содержался в Q. Тогда максимум, каким он сможет стать, это всем Q, то есть длиной 15.
О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.
На числовой прямой даны два отрезка укажите наименьшую возможную длину такого отрезка чтобы формула
На числовой прямой даны два отрезка: P = [4, 15] и Q = [12, 20].
Укажите наименьшую возможную длину отрезка A, для которого выражение
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Применив преобразование импликации, получаем:
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Выражение P ∨ Q истинно на всей числовой оси кроме отрезка [12, 15]. Значит, A должно быть истинно на этом отрезке. Его длина 3.
О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.
На числовой прямой даны два отрезка: P = [20, 50] и Q = [30,65]. Отрезок A таков, что формул
истинна при любом значении переменной x. Какова наименьшая возможная длина отрезка A?
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Логическое И истинно, когда истинны оба утверждения. Условию ¬P ∨ ¬Q = 1 удовлетворяют лучи (−∞; 30) и (50; +∞). Поскольку выражение A ∨ ¬P ∨ ¬Q должно быть тождественно истинным, выражение A должно быть истинно на отрезке [30, 50]. Следовательно, наименьшая длина отрезка А равна 50 − 30 = 20.
Следует различать задания «найдите длину отрезка» и «найдите количество целых чисел на отрезке».
Длина отрезка равна расстоянию между его граничными точками. Длину отрезка можно вычислить по формуле m−n, где m и n — правая и левая границы этого отрезка соответственно. Длина отрезка не зависит от того, включены ли в него его границы. Заметим, однако, что если границы не включены, то должно использоваться слово «интервал», а не слово «отрезок».
Количество целых чисел на отрезке можно найти по формуле где m и n — правая и левая границы этого отрезка соответственно, причем они входят в отрезок.
На числовой прямой даны два отрезка укажите наименьшую возможную длину такого отрезка чтобы формула
На числовой прямой даны два отрезка: Р = [22, 72] и Q = [42, 102]. Какова наименьшая возможная длина интервала A, что логическое выражение
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условию ¬P ∨ Q = 1 удовлетворяют лучи (−∞;22) и [42; +∞). Поскольку выражение A ∨ ¬P ∨ Q должно быть тождественно истинным, выражение A должно быть истинно на отрезке [22, 42). Значит, наименьшая возможная длина интервала A равна 42 − 22 = 20.
О длине интервала написано в примечании к задаче 11119.
На числовой прямой даны два отрезка: Р = [3, 38] и Q = [21, 57]. Какова наибольшая возможная длина интервала A, что логическое выражение
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Логическое И истинно, когда истинны оба утверждения. Условию Q ∧ ¬P = 1 удовлетворяет отрезок (38; 57]. Поскольку выражение Q ∧ ¬P ∨ ¬A должно быть тождественно истинным, выражение ¬A должно быть истинно на лучах (−∞; 38] и (57; +∞). Значит, наибольшая возможная длина интервала A равна 57 − 38 = 19.
О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.
На числовой прямой даны два отрезка: P = [1, 39] и Q = [23, 58]. Какова наибольшая возможная длина интервала A, что логическое выражение
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
(x ∈ А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Логическое И истинно, когда истинны оба утверждения. Условию P ∧ Q = 1 удовлетворяет отрезок [23;39]. Поскольку выражение P ∧ Q ∨ ¬A должно быть тождественно истинным, выражение ¬A должно быть истинно на лучах (−∞, 23) и (39, ∞). Значит, наибольшая возможная длина интервала A равна 39 − 23 = 16.
О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.
На числовой прямой даны два отрезка: P = [3, 13] и Q = [12, 22]. Какова наибольшая возможная длина интервала A, что формула
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
(x ∈ А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Применив преобразование импликации, получаем:
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условию P ∨ Q = 1 удовлетворяет отрезок [3; 22]. Поскольку выражение ¬A ∨ P ∨ Q должно быть тождественно истинным, выражение ¬A должно быть истинно на множестве (−∞; 3) ∪ (22; ∞). Значит, наибольшая возможная длина интервала A равна 22 − 3 = 19.
О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.
На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 39] и Q = [23, 58]. Какова наименьшая возможная длина интервала A, что формула
((x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) → ((x ∈ Q) ∧ (x ∈ A ))
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Применив преобразование импликации, получаем:
(P ∧ Q) → (Q ∧ A) ⇔ ¬(P ∧ Q) ∨ (Q∧A).
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условие ¬(P ∧ Q) = 1 истинно на множестве (−∞, 23) ∪ (39, ∞). Поскольку выражение ¬(P ∧ Q) ∨ (Q∧A) должно быть тождественно истинным, выражение Q∧A должно быть истинным на множестве [23; 39]. Значит, наименьшая возможная длина интервала A равна 39 − 23 = 16.
О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.
На числовой прямой даны два отрезка: P = [17, 54] и Q = [37, 83]. Какова наименьшая возможная длина интервала A, что формула
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
Применив преобразование импликации, получаем:
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условие ¬(P ∧ Q) истинно на множестве (−∞, 37) ∪ (54, ∞). Тогда A должно быть истинным на множестве [37; 54]. Значит, наименьшая возможная длина интервала A равна 54 − 37 = 17.
О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.
На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [5,15]. Выберите такой отрезок A, что формула
тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.
Логическое И ложно, если ложно хотя бы одно утверждение.
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Применив преобразование импликации, получаем:
P∨¬Q ложно тогда, когда x∈[5;10). Выражение A должно быть ложно на интервале (– ∞,5);[10,∞). Поскольку все выражение должно быть ложно для ЛЮБОГО x, следовательно, выражение A должно быть истинно на полуинтервале [5;10) или на любом другом, полностью включающимся в этот интервал.
Из всех отрезков только отрезок [5;8] удовлетворяет этому условию.
На числовой прямой даны два отрезка: P = [12, 62] и Q = [32, 92].
Выберите такой отрезок A, что формула
тождественно истинна, т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной х.
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
(A ∧ Q) → P = ¬(A ∧ Q) ∨ P = ¬A ∨ ¬Q ∨ P.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. ¬Q∨P истинно тогда, когда x∈(– ∞; 62];(92; ∞). Поскольку все выражение должно быть истинно для ЛЮБОГО x, следовательно, выражение ¬A должно быть истинно на полуинтервале (62; 92] или любом другом, который полностью включает этот полуинтервал, следовательно, отрезок A не должен включать этот интервал.
На числовой прямой даны два отрезка укажите наименьшую возможную длину такого отрезка чтобы формула
На числовой прямой даны два отрезка: Р = [4, 16] и Q = [9, 18]. Выберите такой отрезок А, что формула
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
Введем обозначения: (x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Применив преобразование импликации, получаем:
P∨Q истинно тогда, когда x∈[4;18]. Поскольку все выражение должно быть истинно для любого x, выражение ¬A должно быть истинно на лучах (–∞,4) и (18,+∞). Поэтому выражение A должно быть истинно только внутри отрезка [4;18].
Из всех отрезков только отрезок [5;15] полностью лежит внутри отрезка [4;18].
На числовой прямой даны два отрезка: Р = [22, 72] и Q = [42, 102]. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок А, что логическое выражение
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условию ¬P ∨ Q = 1 удовлетворяют лучи (−∞;22) и (42; +∞). Поскольку выражение P ∧ Q ∨ ¬A должно быть тождественно истинным, выражение ¬A должно быть истинно на отрезке [22, 42].
Из всех заданных отрезков только отрезок [55, 100] удовлетворяет этим условиям.
На числовой прямой даны два отрезка: Р = [12, 62] и Q = [52, 92]. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок А, что логическое выражение
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условию ¬P ∨ Q = 1 удовлетворяют лучи (−∞;12) и (52; +∞). Поскольку выражение ¬A ∨ ¬P ∨ Q должно быть тождественно истинным, выражение ¬A должно быть истинно на отрезке [12, 52].
Из всех заданных отрезков только отрезок [55, 100] удовлетворяет этим условиям.
Здесь сказано, что должно быть истинно на отрезке [12, 52], а значит, подходит по условию первый вариант ответа, но не как не четвёртый.
Обратите внимание, речь идёт про отрезок ¬A, именно оно должно быть истинно на отрезке [12, 52].
На числовой прямой даны два отрезка: Р = [3, 38] и Q = [21, 57]. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок А, что логическое выражение
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Логическое И истинно, когда истинны оба утверждения. Условию ¬P ∨ ¬Q = 1 удовлетворяют лучи (−∞; 21) и (38; +∞). Поскольку выражение A ∨ ¬P ∨ ¬Q должно быть тождественно истинным, выражение A должно быть истинно на отрезке [21, 38]. Из всех заданных отрезков только отрезок [20, 40] удовлетворяет этим условиям.
На числовой прямой даны два отрезка: Р = [2, 42] и Q = [22, 62]. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок А, что логическое выражение
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условию ¬P ∨ ¬Q = 1 удовлетворяют лучи (−∞; 22) и (42; +∞). Поскольку выражение A ∨ ¬P ∨ ¬Q должно быть тождественно истинным, выражение A должно быть истинно на отрезке [22,42].
Из всех заданных отрезков только отрезок [15,45] удовлетворяет этим условиям.
На числовой прямой даны два отрезка: Р = [3, 38] и Q = [21, 57]. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок А, что логическое выражение
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Логическое И истинно, когда истинны оба утверждения.Условию Q ∧ ¬P = 1 удовлетворяет отрезок (38; 57]. Поскольку выражение Q ∧ ¬P ∨ ¬A должно быть тождественно истинным, выражение ¬A должно быть истинно на лучах (−∞; 38] и (57; +∞).
Из всех заданных отрезков только отрезок [42, 55] удовлетворяет этим условиям.
На числовой прямой даны два отрезка: Р = [3, 38] и Q = [21, 57]. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок А, что логическое выражение
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Логическое И истинно, когда истинны оба утверждения. Условию Q ∧ ¬P = 1 удовлетворяет отрезок (38;57]. Поскольку выражение Q ∧ ¬P ∨ ¬A должно быть тождественно истинным, выражение ¬A должно быть истинно на лучах [−∞,38] и (57,∞].
Из всех заданных отрезков только отрезок [42,55] удовлетворяет этим условиям.
Ошибка при преобразовании! Там должно получиться везде логическое ИЛИ(перед не P стоит логическое и), так как импликация раскладывается как Q v не P. Буду благодарен, если вы меня поправите, в случае если я ошибаюсь.
Преобразование подробней (два раза применяем преобразование импликации):
(Q → Р) → ¬A ⇔ (¬Q ∨ Р) → ¬A ⇔ ¬(¬Q ∨ Р) ∨ ¬A ⇔ Q ∧ ¬Р ∨ ¬A.
На числовой прямой даны два отрезка: Р = [2, 42] и Q = [22, 62]. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок А, что логическое выражение
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Логическое И истинно, когда истинны оба утверждения. Условию Q ∧ ¬P = 1 удовлетворяет отрезок [42; 62]. Поскольку выражение Q ∧ ¬P ∨ ¬A должно быть тождественно истинным, выражение ¬A должно быть истинно на лучах (-∞, 42) и (62, +∞).
Из всех заданных отрезков только отрезок [43,54] удовлетворяют этим условиям.
На числовой прямой даны два отрезка: Р = [12, 62] и Q = [52, 92]. Какова наименьшая возможная длина интервала A, что логическое выражение
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условию ¬P ∨ Q = 1 удовлетворяют лучи (−∞;12) и [52; +∞). Поскольку выражение A ∨ ¬P ∨ Q должно быть тождественно истинным, выражение A должно быть истинно на отрезке [12, 52). Значит, наименьшая возможная длина интервала A равна 52 − 12 = 40.
О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.
На числовой прямой даны два отрезка: Р = [22, 72] и Q = [42, 102]. Какова наименьшая возможная длина интервала A, что логическое выражение
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условию ¬P ∨ Q = 1 удовлетворяют лучи (−∞;22) и [42; +∞). Поскольку выражение A ∨ ¬P ∨ Q должно быть тождественно истинным, выражение A должно быть истинно на отрезке [22, 42). Значит, наименьшая возможная длина интервала A равна 42 − 22 = 20.
О длине интервала написано в примечании к задаче 11119.
На числовой прямой даны два отрезка: Р = [3, 38] и Q = [21, 57]. Какова наибольшая возможная длина интервала A, что логическое выражение
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Логическое И истинно, когда истинны оба утверждения. Условию Q ∧ ¬P = 1 удовлетворяет отрезок (38; 57]. Поскольку выражение Q ∧ ¬P ∨ ¬A должно быть тождественно истинным, выражение ¬A должно быть истинно на лучах (−∞; 38] и (57; +∞). Значит, наибольшая возможная длина интервала A равна 57 − 38 = 19.
О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.
На числовой прямой даны два отрезка: Р = [30, 45] и Q = [40, 55]. Выберите такой отрезок А, что обе приведённые ниже формулы истинны при любом значении переменной х:
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Применив преобразование импликации, получаем:
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Эти выражения должны быть истинны для любого x. Тогда выражение A должно быть истинно на отрезке [30;45] и на отрезке [40;55].
Из всех отрезков только отрезок [25, 65] удовлетворяет этим условиям.
Правильный ответ указан под номером 2.
На числовой прямой даны два отрезка: Р = [35, 55] и Q = [45, 65]. Выберите такой отрезок А, что обе приведённые ниже формулы истинны при любом значении переменной х:
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Применив преобразование импликации, получаем:
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Эти выражения должны быть истинны для любого x. Тогда выражение A должно быть истинно на отрезке [35;55] и на отрезке [45;65].
Из всех отрезков только отрезок [30, 70] удовлетворяет этим условиям.
Правильный ответ указан под номером 3.
Аналоги к заданию № 5048: 5080 Все
На числовой прямой даны два отрезка: Р = [30, 50] и Q = [10, 70]. Выберите такой отрезок А, чтобы формула
была тождественно истинна, то есть принимала значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет меньшую длину.
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Применив преобразование импликации, получаем:
Логическое И истинно, если истинны оба утверждения. Выражение ¬P истинно тогда, когда x∈(–∞,30);(50,∞). Следовательно, A должно быть истинно на интервале [30;50]. Выражение Q истинно тогда, когда x∈[10, 70]. Следовательно, ¬A должно быть истинно на интервалах (−∞,10);(70,∞). Таким образом, нам нужен отрезок, который полностью содержится в отрезке [10, 70] и при этом содержит в себе отрезок [30, 50].
Из всех отрезков только отрезок [27;53] удовлетворяет этим условиям.
Правильный ответ указан под номером 2.
Аналоги к заданию № 4810: 4811 4812 4813 4814 5269 5301 Все
На числовой прямой даны два отрезка укажите наименьшую возможную длину такого отрезка чтобы формула
На числовой прямой даны два отрезка: P = [25; 50] и Q = [32; 47]. Укажите наибольшую возможную длину промежутка A, для которого формула
(¬ (x A) → (x P)) → ((x A) → (x Q))
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
Преобразуем данное выражение:
(¬ (x A) → (x P)) → ((x A) → (x Q))
((x A) ∨ (x P)) → ((x A) ∨ (x Q))
¬((x A) ∨ (x P)) ∨ ((x A) ∨ (x Q))
(x A) ∧ (x P) ∨ (x A) ∨ (x Q)
(x A) ∨ (x Q)
Таким образом, либо x должен принадлежать Q, либо не принадлежать A. Это значит, что для достижения истинности для всех x, необходимо, чтобы A полностью содержался в Q. Тогда максимум, каким он сможет стать, это всем Q, то есть длиной 15.
О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.