можно ли число 2021 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так чтобы их произведение

— обоснованное решение п. б;

— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);

Источник

1001 олимпиадная и занимательная задачи по математике Раздел 1 Условия задач 5 класс

Что проще.
Любое составное число (т.е. число, делящееся не только на себя и на единицу) можно и даже очень легко.

Попробуйте для начала представить, например, число 30.
Всегда почему-то с числа 30 начинаю подобные задания со своими учениками. И предлагаю найти несколько вариантов.

Борис Семенович!
Только совершенно не обязательно раскладывать на простые множители — достаточно разложить на любое число множителей, начиная с двух множителей, среди которых нет самого числа.

(А разложение на простые множители чаще учат в 6 классе, а не в 5-м.)

Признаюсь, хотел сделать замечание по поводу того, что на простые множители раскладывают в 6 классе, но, слава Богу удержался.

Первый (!) раз слышу от учителя математики, что натуральное число можно разложить на множители, а не только на простые множители. Не шучу.
Не видел ни одного ученика, который бы справился с задачей: разложить число на множители. Кстати, это едва ли не первое, чему учу вне зависимости от оценки и уровня (иногда ценой плохого отзыва).
Просьба разложить на множители просто число, например 5 — всегда вызывает удивление, а равенство 5 = 5 * 1 — иногда злость, мол «мозги протираешь» — единица — это не множитель, единица — это единица.

Еще раз, спасибо, и низкий поклон.

Примечание (на всякий случай): не утверждалось, что учитель математики не знает что натуральное число можно разложить на множители, отличные от простых; сказано было только, что я это услышал впервые.

1. Должна признаться, что выражение «разложить на любое число множителей» из моего № 4) лучше заменить на «представить в виде произведения любого числа множителей» или «представить в виде произведения любых множителей, а не только простых». Чтобы не было путаницы у тех, для кого разложение на множители ассоциирует с разложением на простые множители — обычно используемый термин.

2. Чтобы подвести ребенка к тому, что 1 — это такой же множитель, как и любой другой, думаю, лучше давать не абстрактную задачу, а конкретную, например, такую.
Площадь прямоугольника 5 квадратных сантиметров. Длина каждой стороны — целое число сантиметров. Найти стороны прямоугольника.
(Хотя я обычно даю сразу более сложную задачу типа:
Площадь прямоугольника 24 квадратных сантиметров. Длина каждой стороны — целое число сантиметров. Чему равен периметр прямоугольника? Найди все решения.
А уж если у ученика не получается или он пропускает вариант именно с 1 и никак его не найдет, перехожу к более простому заданию.)
Прямоугольник хорош еще и тем, что его можно предложить нарисовать.

Источник

Можно ли число 2021 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так чтобы их произведение

а) Можно ли число 2014 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли число 199 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

а) Да, можно это верно, например, для чисел 2006 и 8, их сумма равна 2014, а сумма цифр в каждом числе равна 8.

б) Попробуем представить число 199 в виде суммы двух чисел, начиная с суммы 198 + 1. Видим, что суммы цифр данных чисел не равны. Теперь будем отнимать от первого числа по единице и прибавлять единицу ко второму, чтобы сумма сохранялась. Увидим, что как бы мы ни разбивали 199 на два целых числа сумма цифр этих чисел всегда будет равняться 19. Пусть в одном из чисел суммы сумма цифр равна m, тогда сумма цифр втрого числа 19 − m. Они равны, если m = 19 − m, откуда получаем, что m = 9,5. Но m целое, следовательно, получили противоречие. Таким образом, 199 нельзя представить в виде суммы двух чисел с одинаковой суммой цифр.

в) Необходимо суммировать как можно меньшие числа, тогда и получим наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти натуральных чисел с одинаковой суммой цифр. Примем во внимание, что наименьшая сумма цифр, при которой можно получить 5 различных чисел с одинаковой суммой цифр, равна 4. получим числа 4, 13, 22, 31, 40, их сумма будет наименьшей, и будет равна 110.

Источник

Можно ли число 2021 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так чтобы их произведение

а) Можно ли число 2016 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли число 197 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы четырех различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

а) Да, можно. Это верно, например, для чисел 2007 и 9, их сумма равна 2016, а сумма цифр в каждом числе равна 9.

б) Да, можно. Это верно, например, для чисел 139 и 58, их сумма равна 197, а сумма цифр в каждом числе равна 13. Другие примеры: 139+58 или 148 + 49.

в) Наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы четырёх различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр, равно сумме четырёх наименьших чисел с этой суммой цифр.

Для сумм 1, 2, 3 и 4 имеем соответственно:

Если сумма цифр равна 5 или больше, обозначим её через a. Тогда наименьшее из таких чисел − как минимум a. Числа с одинаковой суммой цифр дают одинаковые остатки при делении на 9, поэтому идут минимум через 9. Значит, их сумма не меньше чем

Источник

Можно ли число 2021 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так чтобы их произведение

а) Можно ли число 2016 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли число 197 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы четырех различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

а) Да, можно. Это верно, например, для чисел 2007 и 9, их сумма равна 2016, а сумма цифр в каждом числе равна 9.

б) Да, можно. Это верно, например, для чисел 139 и 58, их сумма равна 197, а сумма цифр в каждом числе равна 13. Другие примеры: 139+58 или 148 + 49.

в) Наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы четырёх различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр, равно сумме четырёх наименьших чисел с этой суммой цифр.

Для сумм 1, 2, 3 и 4 имеем соответственно:

Если сумма цифр равна 5 или больше, обозначим её через a. Тогда наименьшее из таких чисел − как минимум a. Числа с одинаковой суммой цифр дают одинаковые остатки при делении на 9, поэтому идут минимум через 9. Значит, их сумма не меньше чем

Источник