материальная точка движется прямолинейно по закону как решать такие задачи

Физический смысл производной. Задачи!

Физический смысл производной. В состав ЕГЭ по математике входит группа задач для решения которых необходимо знание и понимание физического смысла производной. В частности, есть задачи, где дан закон движения определённой точки (объекта), выраженный уравнением и требуется найти его скорость в определённый момент времени движения, либо время, через которое объект приобретёт определённую заданную скорость. Задачи очень простые, решаются они в одно действие. Итак:

Пусть задан закон движения материальной точки x (t) вдоль координатной оси, где x координата движущейся точки, t – время.

Скорость в определённый момент времени – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.

Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:

Таким образом, физический смысл производной это скорость. Это может быть скорость движения, скорость изменения какого-либо процесса (например роста бактерий), скорость совершения работы (и так далее, прикладных задач множество).

Кроме того, необходимо знать таблицу производных (знать её нужно также, как таблицу умножения) и правила дифференцирования. Если конкретно, то для решения оговоренных задач необходимо знание первых шести производных (см. таблицу):

Материальная точка движется прямолинейно по закону

где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 5 c.

Физический смысл производной это скорость (скорость движения, скорость изменения процесса, скорость работы и т.д.)

Найдем закон изменения скорости: v (t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 6t 2 – 48t + 17, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9 c.

Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?

Найдем закон изменения скорости:

Для того, чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с, необходимо решить уравнение:

Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = t 2 – 13t + 23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Отмечу, что ориентироваться только на такой тип задач на ЕГЭ не стоит. Могут совершенно неожиданно ввести задачи обратные представленным. Когда дан закон изменения скорости и будет стоять вопрос о нахождении закона движения.

Подсказка: в этом случае необходимо найти интеграл от функции скорости (это так же задачи в одно действие). Если потребуется найти пройденное расстояние за определённый момент времени, то необходимо подставить время в полученное уравнение и вычислить расстояние. Впрочем, мы такие задачи тоже будем разбирать, не пропустите! Успехов вам!

Источник

Материальная точка движется прямолинейно по закону как решать такие задачи

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с.

Найдем закон изменения скорости:

м/с.

Почему мы не учитываем число 17 из первоначального уравнения?

найдите производную исходной функции.

в производной нет числа 17

Зачем находить производную?

В задаче просят найти скорость

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.

Найдем закон изменения скорости:

м/с.

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16,, а не 20

вспомните про порядок действий

Умножение приоритетней сложения и вычитания. Вспомните детский школьный пример: 2 + 2 · 2. Напомню, что здесь получается не 8, как считают некоторые, а 6.

Найдем закон изменения скорости: м/с. При имеем:

м/с.

Хотелось бы более полного решения.

Объясните почему берется производная формулы движения точки

У меня вообще не получается ответ другой, вы как то решаете фиг знает как

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Найдем закон изменения скорости:

Чтобы найти, в какой момент времени скорость была равна 3 м/с, решим уравнение:

В условии и под законом движения, и под скоростью авторами подразумеваются проекции, а не модули векторов. Пожалуй, стоило бы указать на это более четко. Чтобы не возникало разночтений, задание можно было бы сформулировать так: «Материальная точка движется прямолинейно вдоль оси Ох. Скалярная проекция радиус-вектора этой точки на ось Ох зависит от времени по закону где x — расстояние от начала отсчета О в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) скалярная проекция вектора скорости на ось Ох была равна 3 м/с?». Полагаем, такая формулировка отпугнула бы непосвященных.

Первая производная от координаты есть проекция скорости на ось, а не её модуль. Поэтому здесь подойдёт и ответ 5, т. к. при t=5 v=|2*5-13|=3. Задание стоит исправить, и спросить к примеру, в какой момент времени ПРОЕКЦИЯ скорости тела на ось Ox будет равна трём.

P. S. Хочется, чтобы всё было правильно. Очень уважаю ваш ресурс и желаю ему процветания, поэтому и пишу замечание. Спасибо за понимание.

Здравствуйте, Алексей! И под законом движения, и под скоростью авторами одинаково подразумеваются их проекции. Пожалуй, стоило бы указать на это более четко, мы свяжемся с разработчиками ЕГЭ и сообщим им об этом. Развернутый комментарий поместили в тексте решения.

Источник

Материальная точка движется прямолинейно по закону как решать такие задачи

Найдем закон изменения скорости:

м/с.

Почему мы не учитываем число 17 из первоначального уравнения?

найдите производную исходной функции.

в производной нет числа 17

Зачем находить производную?

В задаче просят найти скорость

Найдем закон изменения скорости:

м/с.

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16,, а не 20

вспомните про порядок действий

Найдем закон изменения скорости: м/с. При имеем:

м/с.

Хотелось бы более полного решения.

Объясните почему берется производная формулы движения точки

У меня вообще не получается ответ другой, вы как то решаете фиг знает как

Найдем закон изменения скорости:

Чтобы найти, в какой момент времени скорость была равна 3 м/с, решим уравнение:

Источник

Материальная точка движется прямолинейно по закону как решать такие задачи

Найдем закон изменения скорости:

Чтобы найти, в какой момент времени скорость была равна 3 м/с, решим уравнение:

Источник

Задача ЕГЭ 2022- производная функции (продолжение).

Этот раздел посвящен группе задач с кратким ответом, связанных с производной. В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2022 года они могут встретиться под номером 14 для базового уровня и под номером 6 для профильного уровня.
Как и в задачах на определение характеристик производной и свойств функций по их графикам, здесь требуется понимание геометрического и физического смысла производной. Если вы еще не разбирались с упомянутыми задачами, перейдите по ссылкам в нижней части страницы.

В условии задач этой части задания на производную, в отличие от рассмотренных ранее, отсутствуют рисунки и графики. Для их решения необходимо применять аналитический подход, т.е. уметь вычислять производные функций, знать уравнение касательной к графику функции и т.п.

Процесс вычисления производных называют дифференцированием. Перед решением следующих задач стоит повторить формулы и правила дифференцирования функций.

Формулы дифференцирования функций

Правила дифференцирования функций

Правила можно сформулировать и словами.

Пример вычисления производной.

Вычислить производную функции f(x) = −x 4 + 6x 3 + 5x + 23.

Задачи на геометрический смысл производной.

А что такое касательная к графику функции? Часто на этот вопрос школьники и даже студенты пытаются ответить: «Прямая, имеющая одну общую точку с графиком функции.» Это не так. Одну общую точку касательная и график функции, как правило, имеют только в локальной окрестности этой точки, за пределами такой окрестности могут быть разные варианты «взаимодействия» прямой и графика. И даже из этого правила существуют исключения. Например, задумайтесь о том, что такое касательные к графику линейной функции? Сколько общих точек с графиком функции у = sinx имеет прямая y = 1?

Прямая y = 5x − 3 параллельна касательной к графику функции y = x 2 + 2x − 4. Найдите абсциссу точки касания.

Прямая параллельная касательной имеет одинаковый с ней угол наклона к оси абсцисс. Т.е., угловой коэффициент касательной (он же тангенс угла наклона) равен 5, как у заданной прямой.
С другой стороны, мы знаем, что угловой коэффициент касательной равен производной функции в точке касания. Найдем производную:
y‘(x) = (x 2 + 2x − 4)’ = 2x + 2.
Составим уравнение, подставив в выражение для производной неизвестную абсциссу точки касания x₀.
2x₀ + 2 = 5
2x₀ = 5 − 2 = 3
x₀ = 3/2 = 1,5.

Замечание: Мы решали уравнение относительно неизвестной величины, обозначенной x₀. Но решение было бы таким же, если бы эта величина обозначалась переменной x. Дополнительное обозначение понадобилось только для того, чтобы подчеркнуть, что уравнение составлено не для всех точек области определения функции, а именно для искомой точки касания. В том случае, когда по смыслу итак ясно, что речь идет только о точке касания, такого переобозначения обычно не делают, чтобы не загромождать записи. В следующих задачах я тоже не буду вводить этого обозначения без необходимости.

Щелкните по иконке, чтобы увидеть графическую иллюстрацию к этой задаче.

Прямая y = − 4x − 11 является касательной к графику функции y = x 3 + 7x 2 + 7x − 6. Найдите абсциссу точки касания.

Прямая является касательной, поэтому, с одной стороны, её угловой коэффициент определяется значением производной функции в точке касания, а с другой – он равен минус четырем, как это видно из уравнения прямой.
Найдем производную функции y‘(x) = (x 3 + 7x 2 + 7x − 6)’ = 3x 2 + 14x + 7
и приравняем её значение в точке касания угловому коэффициенту, т.е. числу −4. (Переобозначать x на x₀ необязательно, т.к. дальше нас интересует только абсцисса точки касания.) Таким образом составили и теперь решим квадратное уравнение:
3x 2 + 14x + 7 = − 4
3x 2 + 14x + 11 = 0
D = 14 2 − 4·3·11 = 196 − 132 = 64
x₁ = (−14 + 8)/6 = −1
x₂ = (−14 − 8)/6 = −11/3.
Найдем ординаты точек, которые имеют абсциссу x₁ = −1 и принадлежат графику функции и графику прямой. Для этого подставляем −1 в уравнения функции и прямой.
y_кас = −4·(−1) − 11 = 4 − 11 = − 7
y_фун = (−1) 3 + 7·(−1) 2 + 7·(−1) − 6 = − 1 + 7 − 7 − 6 = − 7
Ординаты совпали, значит прямая действительно касается графика функции в этой точке.
Найдем ординаты точек, которые имеют абсциссу x₂ = −11/3 и принадлежат графику функции и графику прямой.
y_кас = −4·(−11/3) − 11 = 11/3 ≈ 3,667
y_фун = (−11/3) 3 + 7·(−11/3) 2 + 7·(−11/3) − 6 ≈ 13,148
Ординаты не совпали, это разные точки. Ответом является только первый корень уравнения х = −1.

Щелкните по иконке, чтобы увидеть графическую иллюстрацию к этой задаче.

Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax 2 + 2x + 3. Найдите a.

Прямая является касательной, поэтому, с одной стороны, её угловой коэффициент определяется значением производной функции в точке касания, а с другой – он равен трём, как это видно из уравнения прямой.
Находим производную
y‘(x) = (ax 2 + 2x + 3)’ = 2ax + 2
и составляем уравнение
2ax + 2 = 3.
Но в этом уравнении два неизвестных a и x, значит нужно еще одно уравнение. Второе уравнение составим используя условие, что точка касания является общей точкой графиков функции и касательной.
3x + 1 = ax 2 + 2x + 3
Эти два равенства составляют систему уравнений, которую будем решать методом подстановки. Из первого уравнения выражаем значение х
2ax = 3 − 2
2ax = 1
x = 1/(2a)
и подставляем его во второе уравнение, чтобы найти a.
3·1/(2a) + 1 = a·(1/(2a)) 2 + 2·1/(2a) + 3
(3 +2a)/(2a)= 1/(4a) +2/(2a) + 3;
Умножим на 4a обе части равенства.
6 + 4a = 1 + 4 + 12a
8a = 1; a = 1/8 = 0,125

Прямая y = −5x + 8 является касательной к графику функции 28x 2 + bx + 15. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Прямая является касательной, поэтому, с одной стороны, её угловой коэффициент определяется значением производной функции в точке касания, а с другой – он равен минус пяти, как это видно из уравнения прямой.
Находим производную
y‘(x) = (28x 2 + bx + 15)’ = 56x + b;
и составляем уравнение
56x + b = −5
Второе уравнение составляем исходя из того, что точка касания принадлежит обоим графикам и графику функции, и графику прямой
28x 2 + bx + 15 = −5x + 8.
Объединим уравнения в систему. Затем первое умножим на х и вычтем его из второго.
28x 2 − 56x 2 + bx − bx + 15 = −5x + 5x + 8.
После приведения подобных членов получим уравнение
−28x 2 + 7 = 0.
Следовательно x 2 = 7/28 = 1/4 и x_1,2 = ±1/2.
По условию задачи абсцисса точки касания больше 0, поэтому выбираем положительный корень x₁ = +1/2 и подставляем его в первое уравнение системы, чтобы определить b.
56x + b= −5
56·1/2 + b = −5
b = −5 −28; b = −33

Прямая y = 3x + 4 является касательной к графику функции 3x 2 − 3x + c. Найдите c.

Найдем производную функции y‘(x) = (3x 2 − 3x + c)’ = 6x − 3;
Приравняем её к угловому коэффициенту прямой, чтобы найти абсциссу точки касания:
6x − 3 = 3;
6x = 6; x = 1.
Используем условие, что точка касания является общей точкой прямой и графика функции, т.е. в равенство
3x + 4 = 3x 2 − 3x + c
подставим единицу.
3·1 + 4 = 3·1 2 − 3·1 + c
7 = 3 − 3 + c, следовательно c = 7.

Задачи на физический смысл производной.

Решая конкретные текстовые задачи на скорость процесса с применением производной, следует не забывать о размерностях величин. Если переменная y, заданная функцией f(x) измеряется в некоторых единицах [y], а её аргумент в единицах [x], то производная (скорость) измеряется в единицах [y/x].

Находим производную
x‘(t) = (6t 2 − 48t + 17)’ = 12t − 48.
Таким образом мы получили зависимость скорости от времени. Чтобы найти скорость в заданный момент времени, нужно подставить его значение в полученную формулу:
x‘(t) = 12t − 48.
x‘(9) = 12·9 − 48 = 60.

Замечание: Убедимся, что не ошиблись с размерностью величин. Здесь единица измерения расстояния (функции) [x] = метр, единица измерения времени (аргумента функции) [t] = секунда, следовательно единица измерения производной [x/t] = [м/с], т.е. производная даёт скорость как раз в тех единицах, которые упомянуты в вопросе задачи.

Находим производную
x‘(t) = (−t 4 + 6t 3 + 5t + 23)’ = −4t 3 + 18t 2 + 5.
Подставляем заданный момент времени в полученную формулу
x‘(3) = −4·3 3 + 18·3 2 + 5 = −108 + 162 + 5 = 59.

Находим производную
x‘(t) = (t 2 − 13t + 23)’ = 2t − 13.
Приравниваем скорость, заданную полученной формулой, значению 3 м/с.
2t − 13 = 3.
Решив это уравнение, определим в какое время равенство является верным.
2t − 13 = 3.
2t = 3 + 13.
t = 16/2 = 8.

Находим производную
x‘(t) = ( (1/3)t 3 − 3t 2 − 5t + 3 )’ = t 2 − 6t − 5.
Составляем и уравнение:
t 2 − 6t − 5 = 2;
t 2 − 6t − 7 = 0.
Это квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант или по теореме Виета. Здесь, на мой взгляд, вторым способом легче:
t₁ + t₂ = 6; t₁·t₂ = −7.
Легко догадаться, что t₁ = −1; t₂ = 7.
В ответ помещаем только положительный корень, т.к. время не может быть отрицательным.

Вернуться и повторить решение задач этого типа с графическим заданием условий:

К этой теме также могут быть отнесены задачи на аналитическое нахождение максимума и минимума функции или наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Они вынесены в отдельное задание профильного уровня.
Перейти к этому заданию.

Перейдите по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ по математике.

Источник