Для того чтобы понять суть математического моделирования, рассмотрим основные определения, особенности процесса.
Суть термина
Моделирование представляет собой процесс создания и применения модели. Ею считают любой абстрактный или материальный предмет, заменяющий в процессе изучения реальный объект моделирования. Важным моментом является сохранение свойств, необходимых для полноценного анализа предмета.
Компьютерное моделирование представляет собой вариант познания, базирующийся на математической модели. Она подразумевает систему неравенств, уравнений, логических знаковых выражений, которые в полной мере отображают все характеристики явления или объекта.
Математическое моделирование предполагает конкретные расчеты, применение вычислительной техники. Для того чтобы объяснить процесс, нужны дополнительные исследования. С этой задачей успешно справляется компьютерное моделирование.
Специфичность компьютерного моделирования
Этот способ изучения сложных систем считают эффективным и результативным. Удобнее и проще анализировать именно компьютерные модели, поскольку можно осуществлять разнообразные вычислительные действия. Это особенно актуально в тех случаях, когда по физическим либо материальным причинам реальные эксперименты не позволяют получать желаемого результата. Логичность таких моделей дает возможность определять главные факторы, которые определяют параметры изучаемого оригинала.
Такое применение математического моделирования позволяет выявлять поведение объекта в различных условиях, выявлять влияние разных факторов на его поведение.
Основы компьютерного моделирования
На чем базируется такое моделирование? Что такое научные исследования на основе ИКТ? Начнем с того, что любое компьютерное моделирование основывается на определенных принципах:
Разновидности моделирования
В настоящее время выделяют разные методы математического моделирования: имитационное и аналитическое.
Аналитический вариант связан с изучением абстрактных моделей реального предмета в виде дифференциальных, алгебраических уравнений, которые предусматривают проведение четкой вычислительной техники, способной дать точное решение.
Имитационное моделирование предполагает исследование математической модели в виде определенного алгоритма, который воспроизводит функционирование анализируемой системы с помощью последовательного выполнения системы несложных вычислений и операций.
Особенности построения компьютерной модели
Подробнее рассмотрим, как происходит такое моделирование. Что такое этапы компьютерного исследования? Начнем с того, что процесс основывается на уходе от четкого объекта или анализируемого явления.
Такое моделирование состоит из двух основных этапов: создание качественной и количественной модели. Компьютерное изучение состоит в проведении системы вычислительных действий на персональном компьютере, направленных на анализ, систематизацию, сравнение результатов исследования с реальным поведением анализируемого объекта. В случае необходимости проводится дополнительное уточнение модели.
Этапы моделирования
Как осуществляется моделирование? Что такое этапы компьютерного исследования? Итак, выделяют следующий алгоритм действий, касающийся построения компьютерной модели:
1 этап. Постановка цели и задач работы, выявление объекта моделирования. Предполагается сбор данных, постановка вопроса, выявление целей и форм исследования, описание полученных результатов.
2 этап. Анализ и изучение системы. Осуществляется описание объекта, создание информационной модели, подбор программных и технических средств, подбираются примеры математического моделирования.
3 этап. Переход к математической модели, проработка метода проектирования, подбор алгоритма действий.
4 этап. Подбор языка программирования либо среды для моделирования, обсуждение вариантов анализа, записи алгоритма на определенном языке программирования.
5 этап. Он состоит в проведении комплекса вычислительных экспериментов, отладке расчетов, обработке полученных результатов. В случае необходимости, на данном этапе осуществляется корректировка моделирования.
6 этап. Интерпретация результатов.
Как анализируется проведенное моделирование? Что такое программные продукты для исследования? В первую очередь подразумевается использование текстовых, графических редакторов, электронных таблиц, математических пакетов, позволяющих получать максимальный результат от проведенных исследований.
Проведение вычислительного эксперимента
Все методы математического моделирования базируются на экспериментах. Под ними принято понимать опыты, проводимые с моделью или объектом. Состоят они в осуществлении определенных действий, позволяющих определять поведение экспериментального образца в ответ на предлагаемые действия.
Вычислительный эксперимент невозможно представить без проведения расчетов, которые связаны с применением формализованной модели.
Основы математического моделирования предполагают проведение исследований с реальным объектом, но вычислительные действия проводят с его точной копией (моделью). При выборе конкретного набора исходных показателей модели, после завершения вычислительных действий, можно получать оптимальные условия для полноценного функционирования реального объекта.
К примеру, имея математическое уравнение, которое описывает протекание анализируемого процесса, при изменении коэффициентов, начальных и промежуточных условий, можно предположить поведение объекта. Кроме того, можно создать достоверный прогноз поведения этого объекта или природного явления в определенных условиях. В случае нового набора исходных данных важно проводить новые вычислительные эксперименты.
Сравнение полученных данных
Чтобы осуществить адекватную проверку реального объекта либо созданной математической модели, а также оценить результаты исследований на вычислительной технике с результатами эксперимента, проведенного на натурном опытном образце, осуществляется сравнение результатов исследований.
От того, каково расхождение между сведениями, полученными в ходе исследований, зависит решение о построении готового образца либо о корректировке математической модели.
Подобный эксперимент дает возможность заменять натуральные дорогостоящие исследования расчетами на вычислительной технике, за минимальные временные сроки анализировать возможности применения объекта, выявлять условия его реальной эксплуатации.
Моделирование в средах
Например, в среде программирования используется три этапа математического моделирования. На этапе создания алгоритма и информационной модели определяют величины, которые будут являться входными параметрами, результатами исследования, выявляют их тип.
В случае необходимости составляют специальные математические алгоритмы в виде блок-схем, записываемые на определенном языке программирования.
Далее осуществляется сам вычислительный эксперимент, для чего программу загружают в оперативную память вычислительного устройства, затем запускают процесс расчетов.
Компьютерный эксперимент предполагает анализ полученных при расчетах результатов, их корректировку. Среди важных этапов подобного исследования отметим проведение тестирования алгоритма, анализ работоспособности программы.
Ее отладка подразумевает поиск и устранение ошибок, которые приводят к нежелательному результату, появлению погрешностей в вычислениях.
Тестирование предполагает проверку правильности функционирования программы, а также оценку достоверности отдельных ее компонентов. Процесс состоит в проверке работоспособности программы, ее пригодности для изучения определенного явления или объекта.
Электронные таблицы
Моделирование с помощью электронных таблиц позволяет охватывать большой объем задач в различных предметных направлениях. Их считают универсальным инструментом, который позволяет решать трудоемкую задачу по расчету количественных параметров объекта.
В случае такого варианта моделирования наблюдается некоторая трансформация алгоритма решения задачи, нет необходимости разрабатывать вычислительный интерфейс. При этом присутствует этап отладки, который включает в себя удаление ошибок данных, поиск связи между ячейками, выявление вычислительных формул.
По мере работы появляются и дополнительные задачи, например вывод результатов на бумажные носители, рациональное представление информации на компьютерном мониторе.
Последовательность действий
Осуществляется моделирование в электронных таблицах по определенному алгоритму. Сначала определяются цели исследования, выявляются основные параметры и связи, на основе полученной информации составляется конкретная математическая модель.
Для качественного рассмотрения модели используют начальные, промежуточные, а также конечные характеристики, дополняют их чертежами, схемами. С помощью графиков и диаграмм получают наглядное представление о результатах работы.
Моделирование в среде СУБД
Оно позволяет решать следующие задачи:
По мере разработки модели на базе исходных данных создаются оптимальные условия для описания характеристик объекта с помощью специальных таблиц.
При этом осуществляется сортировка информации, поиск и фильтрация данных, создание алгоритмов для проведения вычислений. С помощью компьютерной информационной панели можно создавать разные экранные формы, а также варианты для получения печатных бумажных отчетов о ходе эксперимента.
При несовпадении полученных результатов с планируемыми вариантами меняют параметры, проводят дополнительные исследования.
Применение компьютерной модели
Вычислительный эксперимент и компьютерное моделирование являются новыми научными методами исследования. Они позволяют модернизировать вычислительный аппарат, применяемый для построения математической модели, конкретизировать, уточнять, усложнять эксперименты.
Среди самых перспективных для практического использования, проведения полноценного вычислительного эксперимента выделяют проектирование реакторов для мощных атомных станций. Кроме того, сюда относят создание магнитогидродинамических преобразователей электрической энергии, а также сбалансированного перспективного плана для страны, региона, отрасли.
Именно с помощью компьютерного и математического моделирования можно проводить проектирование приборов, необходимых для изучения термоядерных реакций, химических процессов.
Компьютерное моделирование и вычислительные эксперименты дают возможность сводить далеко «не математические» объекты к составлению и решению математической задачи.
Это открывает большие возможности для применения математического аппарата в системе с современной вычислительной техникой для решения вопросов, касающихся освоения космического пространства, «покорения» атомных процессов.
Именно моделирование стало одним из важнейших вариантов познания различных окружающих процессов и природных явлений. Это познание является сложным и трудоемким процессом, подразумевает применение системы различных видов моделирования, начиная с разработки уменьшенных моделей реальных объектов, завершая подбором специальных алгоритмов для проведения сложных математических вычислений.
В зависимости от того, какие процессы или явления будут анализироваться, подбираются определенные алгоритмы действий, математические формулы для вычислений. Компьютерное моделирование позволяет с минимальными затратами получать желаемый результат, важную информацию о свойствах и параметрах объекта либо явления.
Математическое и компьютерное моделирование
Краткая информация о математическом моделировании. Использование математических моделей. Использование компьютеров для обработки экспериментальных данных. Вычислительный эксперимент в науке и технологии. Типовые модели и компоненты универсальных пакетов.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.04.2017 |
| Размер файла | 258,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Математическое моделирование
1.1 Краткая информация о математическом моделировании
1.2 Математизация знаний
1.3 Использование математических моделей
1.4 Аналитические методы исследования математических моделей
1.5 Использование компьютеров
1.6 Обработка экспериментальных данных
1.7 Математическая модель прибора
1.8 Вычислительный эксперимент
1.9 Основные особенности новой технологии научных исследований
1.10 Вычислительный эксперимент в науке и технологии
2. Компьютерное моделирование
2.1 Краткая информация о компьютерном моделировании
2.2 Типовые модели и компоненты универсальных пакетов
2.3 Существующие программные средства и их соответствие требованиям активного компьютерного эксперимента
В связи с бурным развитием техники и компьютеризацией ремонтных процессов на предприятиях тема математического и компьютерного моделирования является наиболее актуальной на данный момент.
Многие пользователи, искренне желая применить компьютерное моделирование в своей практической деятельности, сталкиваются с серьезными трудностями при освоении и использовании современных программных средств. Для работы с ними все еще требуются знания, не относящиеся непосредственно к моделированию, а проведение вычислительного эксперимента остается кропотливой и многотрудной работой. В то же время типовых задач моделирования не так уж и много, и для них можно создать удобный и понятный интерфейс в рамках одного, «универсального» пакета.
1. Математическое моделирование
1.1 Краткая информация о математическом моделировании
Широкое применение математических методов позволяет поднять общий уровень теоретических исследований, дает возможность проводить их в более тесной связи с экспериментальными исследованиями. Математическое моделирование может рассматриваться как новый метод познания, конструирования, проектирования, который сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные, имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента).
Технические, экологические, экономические и иные системы, изучаемые современной наукой, больше не поддаются исследованию (в нужной полноте и точности) обычными теоретическими методами. Прямой натурный эксперимент над ними долог, дорог, часто либо опасен, либо попросту невозможен. Вычислительный эксперимент позволяет провести исследование быстрее и дешевле. Математическое моделирование является в настоящее время одной из важнейших составляющих научно-технического прогресса. Без применения этой методологии в развитых странах не реализуется ни один крупномасштабный технологический, экологический или экономический проект.
На третьем этапе создается программное обеспечение для реализации модели и алгоритма на компьютере. Программный продукт должен учитывать важнейшую специфику математического моделирования, связанную с использованием ряда (иерархии) математических моделей, многовариантностью расчетов. Это подразумевает широкое использование комплексов и пакетов прикладных программ, разрабатываемых, в частности, на основе объектно-ориентированного программирования.
Моделирование в том или ином виде присутствует почти во всех видах творческой деятельности. Математическое моделирование расширяет сферы точного знания и поле приложений рациональных методов. Оно базируется на четкой формулировке основных понятий и предположений, апостериорном анализе адекватности используемых моделей, контроле точности вычислительных алгоритмов, квалифицированной обработке и анализе данных расчетов.
Решение проблем жизнеобеспечения на современном этапе основывается на широком использовании математического моделирования и вычислительного эксперимента. Вычислительные средства (компьютеры и численные методы) традиционно хорошо представлены в естественнонаучных исследованиях, прежде всего в физике и механике. Идет активный процесс математизации химии и биологии, наук о земле, гуманитарных наук и т.д.
Наиболее впечатляющие успехи достигнуты при применении математического моделирования в инженерии и технологии. Компьютерные исследования математических моделей в значительной степени заменили испытания моделей летательных аппаратов в аэродинамических трубах, взрывы ядерных и термоядерных устройств на полигонах.
Современные информационные технологии используются в медицине. Сбор и анализ диагностических данных позволяет провести своевременную диагностику заболеваний. Например, компьютерный томограф является примером того, как использование математических методов обработки больших массивов данных позволило получить качественно новый медицинский инструментарий.
Здесь изложены основные подходы к построению и анализу математических моделей, общие для различных областей знания, не зависящие от конкретной специфики. Окружающий людей мир един, что проявляется, в частности, в универсальности математических моделей, в использовании одних и тех же математических конструкций для описания различных явлений и объектов. Указаны общие черты вычислительного эксперимента с теоретическими и экспериментальными методами в научных исследованиях. Ниже приводится краткое описание различных типов вычислительного эксперимента. Вычислительный эксперимент рассматривается как наиболее высокая ступень математического моделирования, порожденная преобладающим использованием компьютеров и численных методов для изучения математических моделей.
1.2 Математизация знаний
Математизация научного знания, под которой понимается применение математических понятий в естественных и гуманитарных науках, технике, является приметой нашего времени. Часто и уровень развития той или иной науки характеризуется по степени использования математических методов. Известный афоризм «Во всяком знании столько науки, сколько в ней математики» отражает это мнение.
На эмпирическом уровне развития науки описываются наблюдаемые явления, проводятся опыты, собираются и классифицируются экспериментальные данные. Для теоретического уровня характерно введение новых абстракций и идеализаций, понятий, формулировка основных законов, образующих ядро теории. При этом достигается целостный взгляд на исследуемый объект, дается единое истолкование всей совокупности экспериментальных данных.
Большая эвристическая роль теории проявляется в том, что она позволяет предсказать новые, ранее не известные характеристики объекта, явления или процесса. История развития науки содержит блестящие иллюстрации этого: открытие Нептуна, открытие позитрона и т.д. Математические идеи и методы служат не просто математическими украшениями, а действенными средствами количественного и качественного анализа.
Различные науки имеют разный уровень математизации. Для наук, в которых превалирующее значение имеют качественные математические модели, характерен невысокий (более точно, относительно невысокий) уровень математизации. Степень математизации можно характеризовать по тому, какие математические модели используются и насколько широко. Например, применение математики в механике базируется на использовании систем уравнений с частными производными. Причем такие математические модели используются не от случая к случаю, а во всех разделах механики, таких как теория упругости, гидро- аэродинамика и т.д. Большой уровень математизации характерен и для физики, хотя в различных ее разделах математические методы пока используются в разной степени.
Мы являемся свидетелями все более широкого использования математических идей в экономике, истории и других гуманитарных науках. Процесс математизации наук идет чрезвычайно быстро благодаря опыту, накопленному при математизации механики и физики, благодаря достигнутому уровню развития самой математики. Применение математики в химии и биологии в большой степени базируется на уже разработанном ранее математическом аппарате. Поэтому темпы математизации этих наук в значительной степени сдерживаются только уровнем развития самой химии, самой биологии. Здесь важное значение имеет и психологический фактор боязни математики. Без развития экспериментальных и теоретических исследований существенное продвижение за счет только математических методов невозможно. Успешное применение математических методов требует прежде всего глубокого овладения содержанием исследуемого процесса или явления, необходимо быть прежде всего специалистом в прикладной области, а потом уже математиком.
1.3 Использование математических моделей
При математизации научных знаний выделяется этап абстрагирования от конкретной природы явления, идеализации и выделения его математической формы (строится математическая модель). Именно абстрактность математической модели порождает определенные трудности для ее применения к описанию конкретного явления или процесса. Сейчас, благодаря накопленному опыту, процесс идеализации, абстрагирования проходит значительно спокойнее и быстрее в различных науках.
Вторым этапом математизации является исследование математических моделей как чисто математических (абстрактных) объектов. С этой целью используются средства самой математики как уже созданные, так и специально построенные. В настоящее время большие возможности для исследования математических моделей предоставляют вычислительные средства: компьютеры и численные методы.
Математические модели могут изучаться в традициях чистой математики. В этом случае математические модели изучаются сами по себе, без какой-либо связи с прикладным содержанием. Они исследуются на принятом в математике уровне строгости, что обеспечивает им универсализм и необходимую общность. Здесь уместно сослаться на мнение крупных математиков: Д.Гильберта, А.М.Ляпунова и др. Эта точка зрения сводится к следующему. После математической формулировки прикладной проблемы ее нужно рассматривать на уровне чистой математики. Несомненно, что исследование математических моделей является одним из самых мощных стимулов развития самой математики.
Эвристическая роль математического моделирования проявляется в том, что вместо натурного эксперимента проводится математический эксперимент. Вместо исследования проявления того или иного воздействия на исследуемый объект используется параметрическое изучение математической модели, устанавливается зависимость решения от того или иного параметра. Такой эксперимент, дополняя натурный, позволяет значительно глубже исследовать явление или процесс.
1.4 Аналитические методы исследования математических моделей
математический компьютерный моделирование
Качественное исследование начинается с размерностного анализа задачи. Приведение задачи к безразмерному виду позволяет сократить число определяющих параметров задачи. Выделение малых или больших безразмерных параметров дает возможность в ряде случаев существенно упростить исходную математическую модель, учесть особенности задачи при разработке численных методов ее решения.
Сама математическая модель может быть достаточно сложной, нелинейной. Это зачастую делает невозможным ее качественное исследование традиционными методами прикладной математики. Именно поэтому в громадном большинстве случаев проводиться качественное исследование на более простых, но обязательно содержательных, по отношению к исходной математической модели задачах. В этом случае мы должны говорить о модельных (упрощенных) задачах для основной математической модели (моделей для модели). Так например, особенности модели потенциального течения с дозвуковыми и сверхзвуковыми подобластями течения в плане качественного исследования передаются уравнением Трикоми, которое в математической физике относится к классу уравнений смешанного типа.
Большое внимание при качественном исследовании математических моделей (или модельных задач для них) уделяется вопросам корректности. Прежде всего рассматривается проблема существования решения. Соответствующие строгие результаты (теоремы существования) дают уверенность в корректности математической модели. Кроме того, конструктивные доказательства теорем существования могут быть положены в основу приближенных методов решения поставленной задачи.
При прикладном математическом моделировании важным является вопрос об устойчивости решения относительно малых возмущений входных данных. Неустойчивость (неограниченный рост решения при малых возмущениях) наиболее характерна для обратных задач и должна учитываться при построении приближенного решения.
Для нелинейных математических моделей может быть характерна множественность, неединственность решения. При качественном исследовании математических моделей изучаются точки ветвления, бифуркации решения, вопросы выделения нужного искомого решения и т.д.
Методы качественного исследования для различных типов математических моделей разработаны с неодинаковой полнотой. Среди моделей, где качественные методы принесли наиболее впечатляющие результаты, отметим обыкновенные дифференциальные уравнения. В теории уравнений с частными производными качественные методы также используются, хотя и не в такой большой степени. В качестве содержательного примера отметим принцип максимума для параболических и эллиптических уравнений второго порядка, который позволяет провести качественное исследование математических моделей, основанных на уравнениях с частными производными.
Точное или приближенное решение находится с использованием аналитических и численных методов. В этой связи среди классических примеров аналитических методов отметим методы разделения переменных, интегральных преобразований для линейных задач математической физики.
Для нелинейных математических моделей особое значение имеют методы линеаризации, различные варианты методов возмущений. Теория возмущений базируется на использовании асимптотических разложений по выделенному малому параметру. Особое внимание этим методам, несмотря на их ограниченность, уделяется при рассмотрении сингулярно возмущенных задач.
Качественное поведение решения нелинейной задачи может хорошо передаваться некоторыми частными решениями. Поиск частных решений нелинейных задач основывается на использовании автомодельных переменных, на результатах группового анализа уравнений, лежащих в основе математической модели.
Сложные нелинейные многопараметрические модели могут быть исследованы на компьютере численными методами. В отличие от аналитического решения, которое может давать явную параметрическую зависимость решения от тех или иных условий задачи, при численном решении требуется многократное решение задачи при изменении того или иного параметра. Но ведь численное решение может быть получено и для тех задач, для которых аналитического решения нет.
1.5 Использование компьютеров
Перейдем теперь к характеристике основных этапов использования компьютеров при математическом моделировании. Мы будем основное внимание обращать на использование вычислительных средств при нахождении приближенного решения задачи. Необходимо однако отметить и возможности применения компьютеров и на этапе качественного исследования математической модели, этапе отыскания аналитических решений модельных задач. Например, компьютер можно использовать для нахождения автомодельных решений. При выделении автомодельной переменной исходная задача для уравнения в частных производных сводится, например, к обыкновенному дифференциальному уравнению, происходит понижение размерности. Общее решение последнего находится на основе использования систем аналитических вычислений на компьютере (методов вычислительной алгебры), широко представленных в современных математических пакетах.
В применении компьютеров при математическом моделировании можно выделить, по крайней мере, два этапа, два уровня. Первый из них характеризуется исследованием достаточно простых математических моделей. На этом этапе (уровне) применения компьютеров вычислительные средства используются наряду и наравне с другими методами (чисто математическими) прикладной математики.
Именно возможность исследования сложных математических моделей на основе численных методов и компьютеров позволяет с новых позиций рассмотреть методологию научных исследований. Мощные компьютеры, высокоэффективные вычислительные алгоритмы, современное программное обеспечение позволяют в настоящее время организовать научные исследования в рамках единой технологии вычислительного эксперимента, который включает в себя теоретические и экспериментальные исследования.
1.6 Обработка экспериментальных данных
Экспериментатор, в самой общей схеме своего исследования, воздействует на исследуемый объект, получает информацию о результатах этого воздействия и обрабатывает ее. Эти данные зашумлены случайными погрешностями измерений. В силу этого при первичной обработке экспериментальных данных основной математический аппарат базируется на теории вероятностей и математической статистике. Экспериментальные исследования все чаще ведутся с помощью измерительно-вычислительных комплексов, которые позволяют получать, хранить и обрабатывать экспериментальные данные.
В каждом экспериментальном исследовании проводится статистическая обработка опытных данных. Количественная оценка влияния отдельных факторов (параметров) проявляется в построении эмпирических зависимостей, интерполирующих с той или иной точностью экспериментальные данные. В этом случае можно говорить об использовании аппроксимационных математических моделей, в которых содержательные математические модели как таковые просто отсуствуют. Выбор числа и условий проведения опытов для решения той или иной проблемы осуществляется на этапе планирования эксперимента. Здесь привлекаются результаты математической теории оптимального эксперимента, математической теории планирования эксперимента.
1.7 Математическая модель прибора
Настоящий уровень развития экспериментальных исследований характеризуется возрастающим применением все более совершенных приборов. Сами приборы с неизбежностью вносят возмущения в исследуемое явление или процесс. С целью избавления от этих погрешностей строится математическая модель прибора.
При проведении экспериментов необходимо иметь в виду две принципиально различные ситуации. Первая из них связана с ситуацией, когда для исследуемого явления или объекта нет теоретического описания, нет математической модели и ставится задача накопления экспериментального материала с тем, чтобы в последующем дать теоретическое описание. В этом случае математические методы используются для хранения и переработки информации, в частности, для получения эмпирических зависимостей.
При построении аппроксимационных математических моделей типичной является ситуация с определением параметров эмпирических формул, подборе самой формулы. По массе экспериментальных данных необходимо подобрать параметры аппроксимационных моделей так, чтобы с приемлемой точностью можно было описать экспериментальные данные. В этом случае мы сталкиваемся с необходимостью приближенного решения соответствующих задач минимизации.
Второй класс экспериментов проводится в условиях, когда есть теоретическое описание исследуемого объекта. Структура математической модели определена и ставится задача определения параметров модели. Сам натурный эксперимент направлен на то, чтобы определить те или иные свойства объекта, на конкретизацию математической модели объекта.
При обработке опытных данных таких экспериментов часто приходится иметь дело с обратными задачами. Такие задачи могут быть некорректными в классическом смысле и поэтому трудными для численного исследования. На стадии обработки и интерпретации данных экспериментальных исследований вычислительные средства находят все более широкое применение с использованием различных классов математических моделей.
1.8 Вычислительный эксперимент
Теоретические и экспериментальные исследования обладают большой степенью автономности. В условиях когда фундаментальные модели известны, апробированы может быть поставлена проблема более тесного координирования и связи теоретических и экспериментальных исследований. Речь идет о новой объединяющей технологии научных исследований, которой является математическое моделирование и вычислительный эксперимент.
Схема вычислительного эксперимента
Для исследуемого объекта сначала строится математическая модель. Она базируется на известных фундаментальных моделях. Вычислительный эксперимент, по своей сути, предусматривает исследование группы близких моделей. Вначале строится простая, но достаточно содержательная и полная с точки зрения описания исследуемых процессов, с точки зрения близости к экспериментальным данным модель.
В процессе проведения вычислительного эксперимента, на его последующих циклах модель уточняется, учитываются новые факторы и т.д. Поэтому мы всегда можем говорить (более того, должны говорить) о наборе, упорядоченном наборе (об иерархии) математических моделей, каждая из которых с той или иной точностью описывает действительность. И в рамках наиболее простой модели необходимо добиваться согласия с экспериментом. Это и является, в конце концов, целью вычислительного эксперимента.
После построения математической модели традиционными средствами прикладной математики проводится предварительное исследование математической модели. Суть вычислительного эксперимента, его содержательное зерно состоит в исследовании на компьютере математических моделей численными методами. Здесь же речь идет только о предварительном исследовании математической модели. На этом этапе с доступной полнотой, на принятом в математике уровне строгости решаются вопросы о корректности полной задачи в узком математическом смысле.
При качественном исследовании модельных (упрощенных) задач изучаются вопросы множественности решения, его устойчивости и т.д. Большое значение имеют также точные частные решения существенно нелинейных задач, асимптотические решения и т.д. Таким образом здесь применяется обычный математический арсенал теоретического исследования проблемы.
На следующем этапе вычислительного эксперимента строится дискретная задача и численный метод решения этой дискретной задачи. Сама математическая модель включает в себя, как правило, уравнения с частными производными (ядро математической модели), системы дифференциальных и алгебраических уравнений. Построение вычислительных алгоритмов и их исследование является прерогативой вычислительной математики.
При прикладном математическом моделировании наблюдаются две тенденции научных исследований. В традициях (парадигме) чистой математики одни исследователи изучают дискретные модели и численные методы их исследования вне связи их с прикладным математическим моделированием, реализацией на компьютере в контексте решения прикладной проблемы. Проводятся строгие доказательства существования решения дискретной задачи, получают теоретические оценки погрешности приближенного решения, сходимости итерационного процесса. Это уместно прежде всего при разработке методов решения базовых задач, при разработке вычислительного арсенала исследователя.
Представители прикладного направления в вычислительной математике работают на несколько другом («физическом») уровне строгости, для которого характерны такие нестрогие понятия как «практическая сходимость», «реальные сетки» и т.д. Безусловное требование полной строгости при прикладном математическом моделировании ни к чему хорошему не приводит.
Вычислительный эксперимент характеризуется двумя особенностями, которые необходимо учитывать при создании адекватного ему программного обеспечения. Это, во-первых, многовариантность расчетов в рамках фиксированной математической модели и, во-вторых, многомодельность. Здесь уже нельзя обойтись одной программой на компьютере, нужно иметь возможность легко менять ее для решения близких задач (задач для набора моделей).
Программное обеспечение вычислительного эксперимента базируется на использовании комплексов и пакетов прикладных программ. Комплекс программ предназначен для решения близких по своей математической природе задач из одной предметной области. Он включает в себя библиотеку программных модулей (в большой или меньшей степени независимых), из которых комплектуются рабочие программы. В комплексах прикладных программ сборка программ из модулей осуществляется вручную.
В пакетах прикладных программ для сборки используются системные средства компьютера, что позволяет в значительной степени автоматизировать этот процесс. Пакеты прикладных программ, рассматриваемые как технология решения задач в рамках вычислительного эксперимента, позволяют наиболее эффективно использовать накопленный программный продукт, резко поднять производительность труда программистов.
В наибольшей степени основные особенности вычислительного эксперимента учитывается при использовании объектно-ориентированного программирования и современных языков программирования.
Затем в цикле вычислительного эксперимента проводится серия расчетов на компьютерах при изменении тех или иных параметров задачи. Полученные данные анализируются и интерпретируются с участием специалистов в прикладной области. Обработка результатов проводится с учетом имеющихся теоретических представлений и экспериментальных данных. Она осуществляется, во-многом, в традициях классического натурного эксперимента. Сами опытные данные представляются в виде таблиц, графиков, фотографий с дисплея, кинофильмов и т.д.
Надо только всегда иметь в виду, что объем обрабатываемой информации, детализация полученных результатов в вычислительном эксперименте несравненно больше. В вычислительном эксперименте проблемы хранения и обработки информации имеют все возрастающее значение.
На этапе анализа результатов становиться ясным, удачно ли выбрана математическая модель, ее вычислительная реализация. Если есть необходимость, модели и численные методы уточняются и весь цикл вычислительного эксперимента повторяется, то есть совершается новый виток спирали в познании истины.
1.9 Основные особенности новой технологии научных исследований
Характеризуя вычислительный эксперимент в целом, чрезвычайно важно отметить его универсальность, которая позволяет легко переносить эту технологию на исследование других объектов. Это обстоятельство характерно вообще для математического моделирования и порождено тем, что многие явления и процессы имеют одни и теже математические модели.
Отмеченная многоцелевая направленность и методологическая универсальность вычислительного эксперимента позволяет на основе накопленного опыта математического моделирования, банка вычислительных алгоритмов и программного обеспечения быстро и эффективно решать новые задачи.
Второй особенностью вычислительного эксперимента, как технологии научных исследований, является его междисциплинарный характер. Мы постоянно подчеркиваем это обстоятельство, говоря о том, что прикладной математик объеденил теоретика и экспериментатора для более быстрого достижения общей цели. Вычислительный эксперимент может рассматриваться как удобная форма кооперации умственного труда, повышения его производительности. В едином цикле вычислительного эксперимента работает и теоретик, и экспериментатор, и прикладной математик, и программист.
Можно отметить следующие отличительные особенности и преимущества вычислительного эксперимента перед натурным экспериментом.
Во-вторых, при использовании вычислительного эксперимента резко снижается стоимость разработок и экономится время. Это обеспечивается многовариантностью выполняемых расчетов, простотой модификации математических моделей для имитации тех или иных реальных условий.
В качестве иллюстрации отметим то, что расчеты на компьютерах в большой степени заменили эксперименты в аэродинамических трубах при создании космического корабля многоразового использования Шатл. Создание новых изделий и технологий с необходимостью связано с тяжелой, дорогостоящей и длительной доводкой. Вычислительные средства позволяют в значительной степени сэкономить время и деньги именно на этой стадии.
Данные экспериментальных исследований используются для калибровки математических моделей, контроля точности приближенного решения задачи. В традициях экспериментального исследования мы воздействуем на математическую модель и обрабатываем результаты (вот почему мы говорим об эксперименте, хотя и вычислительном). И лишь изредка мы контролируем точность своего «прибора», сравнивая его с эталоном. В традициях теоретического исследования в вычислительном эксперименте мы имеем дело с математической моделью, а не с самим объектом. Эти общие черты мы рассматриваем как дополнительные аргументы в пользу интерпретации вычислительного эксперимента в широком (методологическом) смысле как интегрирующей технологии научных исследований.
1.10 Вычислительный эксперимент в науке и технологии
Остановимся теперь на краткой характеристике основных областей применения математического моделирования. Основное внимание уделим классификации видов вычислительного эксперимента по применениям и по типам используемых математических моделей. Отмеченная взаимоувязанная классификация позволяет ориентировать исследователя на использование адекватного математического аппарата исследования математических моделей. Такая методологическая проблема зачастую затушевывается и сдерживает интеграционные процессы в самой прикладной математики, не говоря уже о трудностях математического моделирования.
Отметим еще один аспект в применении вычислительного эксперимента. В настоящее время мировая общественность совершенно справедливо обеспокоена экологическими последствиями крупномасштабных проектов, обеспечением безопасности функционирования работающих установок и проектируемых объектов. Вычислительный эксперимент на базе адекватных моделей позволяет испытать модель экологически опасного объекта в мыслимых и немыслимых условиях, дать практические рекомендации обеспечения условий безопасной работы, дать, если хотите, гарантии такой работы.
При исследовании нового процесса или явления обычный подход связан с построением той или иной математической модели и проведением расчетов при изменении тех или иных параметров задачи. В этом случае мы имеем поисковый вычислительный эксперимент. Если основу математической модели составляют уравнения с частными производными, то в цикле вычислительного эксперимента исследуется и решается численными методами прямая задача математической физики.
В результате проведения поискового вычислительного эксперимента дается описание наблюдаемым явлениям, прогнозируется поведение исследуемого объекта в тех или иных условиях, возможно и не достижимых в реальных условиях. Такой тип вычислительного эксперимента характерен при проведении теоретических исследований в фундаментальных науках.
С другой стороны, при математическом моделировании технологических процессов в качестве основного может быть выбран оптимизационный вычислительный эксперимент. Для него характерно решение задачи оптимизации по уменьшению затрат, облегчению конструкции и т.д. Для сформулированной математической модели ставится соответствующая задача оптимального управления, задача оптимизации.
Характерным примером могут служить задачи оптимального управления для уравнений математической физики, например, граничного управления, когда граничные условия подбираются так, чтобы минимизировать соответствующий функционал (функционал качества). В этом случае многовариантные расчеты проводятся с целью подобрать управляющие параметры, а результатом является решение в том или ином смысле оптимальное.
При обработке данных натурных экспериментов используется диагностический вычислительный эксперимент. По дополнительным косвенным измерениям делается вывод о внутренних связях явления или процесса. В условиях, когда структура математической модели исследуемого процесса известна, ставится задача идентификации модели, например, определяются коэффициенты уравнений. Диагностическому вычислительному эксперименту обычно ставится в соответствие обратная задача математической физики.
Часто приходится сталкиваться с положением, когда математической модели исследуемого процесса или явления нет и создать ее не представляется возможным. Такая ситуация характерна, в частности, при обработке данных натурного эксперимента. Тогда обработка проводится в режиме «черного ящика» и мы имеем дело с аппроксимационными моделями. При отсутствии математических моделей на основе широкого использования компьютеров проводится имитационное моделирование
2. Компьютерное моделирование
2.1 Краткая информация о компьютерном моделировании
Компьютерное моделирование широко используется как средство познания действительности, проектирования и обучения. Программные средства для моделирования можно разделить на две группы.
К первой относятся пакеты, предназначенные для решения сложных промышленных и научно-исследовательских задач большими производственными или научными коллективами. В таких проектах ведущую роль играет организация работ: хорошо налаженное взаимодействие между отдельными группами, быстрый доступ к многочисленным экспериментальным данным и библиотекам программ, тщательное документирование и тестирование, многовариантные расчеты. При этом обычно используются хорошо изученные модели, которые лишь модифицируются и приспосабливаются для решения конкретных задач. В некотором смысле это относится и к большим научным проектам, когда успех во многом предопределен предварительными исследованиями, но для получения окончательных результатов требуется хорошо скоординированная совместная работа. Пакеты первой группы условно называются промышленными.
Промышленные пакеты слишком сложны и громоздки для проведения исследований на ранних стадиях и тем более обучения, для этого нужны специальные программные средства. Именно они и образуют вторую группу пакетов. Называются пакеты второй группы универсальными, они уступают по количеству уникальных возможностей промышленным, зато более просты для освоения и доступны отдельному исследователю при решении относительно несложных задач из практически любой прикладной области. Под несложными понимаются не простые задачи, а задачи, посильные одному разработчику, не являющемуся специалистом в области программирования и методов вычислений. В универсальных пакетах нужны разнообразные численные библиотеки, способные справиться с широким спектром проблем, а не методы, ориентированные на узкий класс задач. Для них нужны графические библиотеки, обеспечивающие показ изучаемого явления с разных сторон, а не одним, принятым в конкретной области, способом и, конечно же, поддержка интерактивного вмешательства в ход компьютерного эксперимента.
С момента появления пакета Simulink универсальные, не ориентированные на конкретные прикладные области пакеты для моделирования и исследования динамических систем в широком понимании этого термина, включая и дискретные, и непрерывные, и гибридные модели, стали повседневной реальностью. Относительная простота и интуитивная ясность входных языков универсальных пакетов в сочетании с разумными требованиями к мощности компьютеров позволяют использовать эти пакеты в учебном процессе.
Необходимость обеспечения обратной связи между исследователем и моделью опять же приводит нас к событийно-управляемым системам и дополнительно заставляет проводить и визуализировать вычислительный эксперимент в реальном времени. Назовем такой способ познания действительности активным компьютерным экспериментом, в отличие от традиционного пассивного вычислительного эксперимента, план которого может быть составлен заранее.