Что обозначает ордината y в прямоугольной системе координат
Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве.
Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка — началом координат. Она обозначается обычно буквой О.
Оси координат обозначаются так: Ох, Оу, Оz — и имеют названия: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат. Вся система координат обозначается Охуz.
Плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оуz, Оzх.
Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч отрицательной полуосью.
Если точка А (х; у; z) лежит на координатной плоскости или на оси координат, то некоторые ее координаты равны нулю.
Прямоугольная система координат
Содержание
Иногда в жизни, чтобы найти на плоскости какой-то объект, его описывают двумя значениями. Так каждое место в зале кинотеатра имеет два параметра: ряд и место. Каждая клетка на шахматной доске или при игре в «морской бой» описывается номером строки и буквой, обозначающей столбец.
В математике определение местоположения объекта на плоскости придумали быстро находить с помощью системы координат, образованной двумя прямыми, называемых координатными осями (или осями координат).
Ось координат
Абсцисса, ордината, начало координат и единичный отрезок
Оси пересекаются под прямым углом перпендикулярно друг к другу, поэтому такая система координат и называется прямоугольной.
На каждой оси выбирается единичный отрезок, с помощью которого вычисляются координаты объекта. Длиной единичного отрезка может выступать любая единица измерения, но она должна быть одинаковой на каждой из осей. То есть, если единичный отрезок на оси абсцисс задан, например, равным 1 см, то и на оси ординат единичный отрезок тоже должен быть равен одному сантиметру.
Абсцисса, ордината, начало координат и единичный отрезок
Положительное и отрицательное направление
У осей стрелкой задается положительное направление:
Таким образом, все вместе:
образуют в математике прямоугольную систему координат, плоскость называют координатной.
Или другими словами:
Четверти
Осями координат плоскость делится на 4 части, их обозначают римскими цифрами. Каждая часть называется «квадрант». Другие названия: «координатный угол» или «четверть». Нумерация четвертей принята против часовой стрелки в том порядке, в котором указано на рисунке ниже.
Четверти координатной плоскости
Немного из истории
В латинском языке слово «координаты» получилось из двух других: co – «совместно» и ordinatus – «определенный», «упорядоченный».
Впервые необходимость нахождения координат объектов возникла в географии и астрономии. Для этого использовали широту и долготу, определяющие расположение точки на небесной сфере или на поверхности земного шара. Таким образом начали вычислять координаты точек еще в 14 веке. Но упорядочил и систематизировал все знания в 17 веке французский математик по имени Рене Декарт. Поэтому прямоугольную систему координат также называют еще и «декартовой».
Прямоугольная система координат. Ось абсцисс и ординат
Прямоугольная декартова система координат
Французский математик Рене Декарт преддложил вместо геометрических построений использовать математические расчеты. Так появился метод координат, о котором мы сейчас расскажем.
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты школы тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится наша школа. С точками на плоскости та же история.
Координатой можно назвать номер столика в кафе, широту и долготу на географической карте, положение точки на числовой оси и даже номер телефона друга. Проще говоря, когда мы обозначаем какой-то объект набором букв, чисел или других символов, тем самым мы задаем его координаты.
Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.
Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.
Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.
Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.
Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.
Единичные отрезки располагаются справа и слева от оси Oy, вверх и вниз от оси Oy. Числовые значения на оси Oy располагаются слева или справа, на оси Ox — внизу под ней. Чаще всего единичные отрезки двух осей соответствуют друг другу, но бывают задачи, где они не равны.
Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.
У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:
Чтобы узнать координаты точки в прямоугольной системе координат, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра. Координаты записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.
Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве
Трехмерное евклидово пространство состоит из трех взаимно перпендикулярных прямых: Ох, Оу, Оz, где Оz — ось аппликат. По направлению координатных осей есть разделение на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.
Оси координат пересекаются в точке О, которую называют началом. У каждой оси есть положительное направление, которое отмечается стрелкой. Если при повороте Ох против часовой стрелки на 90° ее положительное направление совпадает с положительным Оу, тогда это применимо для положительного направления Оz. Такую систему считают правой. Объясняем на пальцах! Если сравнить направление Х с большим пальцем руки, то указательный отвечает за Y, а средний за Z.
Также образуется левая система координат. Совмещать обе системы нет смысла, так как соответствующие оси не совпадут.
Координаты точки в декартовой системе координат
Для начала отложим точку М на координатной оси Ох. Любое действительное число xM равно единственной точке М, которая располагается на данной прямой. При этом начало отсчета координатных прямых всегда ноль.
Каждая точка М, которая расположена на Ох, равна действительному числу xM. Этим действительным числом и является ноль, если точка М расположена в начале координат, то есть на пересечении Оx и Оу. Если точка удалена в положительном направлении, то число длины отрезка положительно и наоборот.
Число xM — это координата точки М на заданной координатной прямой.
Пусть точка будет проекцией точки Mx на Ох, а My на Оу. Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям Оx и Оу прямые, после чего получим соответственные точки пересечения Mx и My.Тогда у точки Mx на оси Оx есть соответствующее число xM, а My на Оу — yM. Как это выглядит на координатных осях:
Каждой точке М на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат соответствует пара чисел (xM, yM), которые называются ее координатами. Абсцисса М — это xM, ордината М — это yM.
Обратное утверждение тоже верно: каждая пара (xM, yM) имеет соответствующую точку на плоскости.
Координаты точки в трехмерном пространстве
Сформулируем определение точки М в трехмерном пространстве.
Пусть Mx, My, Mz — это проекции точки М на соответствующие оси Оx, Оy, Оz. Тогда значения этих точек на осях примут значения xM, yM, zM. Как это выглядит на координатных прямых:
Чтобы получить проекции точки М, нужно добавить перпендикулярные прямые Оx, Оy, Оz, продолжить их и изобразить в виде плоскостей, которые проходят через М. Так плоскости пересекутся в Mx, My, Mz.
У каждой точки трехмерного пространства есть свои данные (xM, yM, zM), которые являются координатами точки М.
xM, yM, zM — это числа, которые являются абсциссой, ординатой и аппликатой данной точки М. Верно и обратное утверждение: каждая упорядоченная тройка действительных чисел (xM, yM, zM) в заданной прямоугольной системе координат имеет одну соответствующую точку М трехмерного пространства.
Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве
При введении системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве появляется уникальная возможность описания геометрических фигур и их свойств при помощи уравнений и неравенств. Это имеет иное название – методы алгебры.
Данная статья поможет разобраться с заданием прямоугольной декартовой системой координат и с определением координат точек. Более наглядное и подробное изображение имеется на графических иллюстрациях.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
Изображение прямоугольной системы координат на плоскости.
Оси абсцисс и ординат имеют одинаковую единицу изменения и масштаб, что показано в виде штрихе в начале координатных осей. Стандартное направление О х слева направо, а O y – снизу вверх. Иногда используется альтернативный поворот под необходимым углом.
Прямоугольная система координат получила название декартовой в честь ее первооткрывателя Рене Декарта. Часто можно встретить название как прямоугольная декартовая система координат.
Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве
По направлению координатных осей делят на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.
Аналогично образуется левая система координат. Обе системы совместить невозможно, так как соответствующие оси не совпадут.
Координаты точки в декартовой системе координат на плоскости
Имеющееся число x M называют координатой точки М на заданной координатной прямой.
Координаты точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве
Прямоугольная система координат в пространстве
Урок 1. Геометрия 11 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Прямоугольная система координат в пространстве»
Вы уже знакомы с прямоугольной системой координат на плоскости, другими словами прямоугольной координатной плоскостью. Такую систему координат задают две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из которых выбрано направление и величина единичного отрезка. Эти прямые называют осями абсцисс и ординат.
Точку пересечения осей называют точкой начала координат.
Прямоугольную систему координат на плоскости обозначают Оху.
Каждой точке плоскости сопоставляется только одна пара чисел, которые называют её координатами. Для определения координат, из точки нужно провести перпендикуляры к осям, тем самым мы и получим абсциссу и ординату точки.
Если же через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, а на каждой из них выбрано направление и единичный отрезок, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве.
Прямые с выбранными на них направлениями называют осями координат, а точку их пересечения — началом координат. Как и на плоскости её обычно обозначают буквой О.
Оси координат обозначают так: Ох, Оу, Оz. И называют осью абсцисс, осью ординат и, новым является название третьей оси, ось аппликат.
Прямоугольную систему координат в пространстве обозначают Охуz.
Через каждые 2 оси координат проходят координатные плоскости: Оху, Оуz и Охz. Всего таких плоскостей 3.
Каждая ось делится точкой О на два луча. В соответствии с этим, лучи, направление которых совпадает с направлением оси, называют положительными полуосями, а оставшиеся лучи — отрицательными полуосями.
Каждой точке пространства сопоставляется только одна тройка чисел, которые называют её координатами. Их определяют аналогично тому, как это делали на плоскости. Только через точку М проводят плоскости перпендикулярные координатным осям.
Точки пересечения проведённых плоскостей с осями координат назовём М1, М2 и М3.
Первая координата точки М, то есть её абсцисса, равна длине отрезка ОМ1.
Вторая координата, которую называют ординатой, равна длине отрезка ОМ2.
Ну, а третья координата, а точнее аппликата, равна длине отрезка ОМ3.
Координаты точки записывают в скобках, при этом первой записывают абсциссу, второй — ординату, а третьей — аппликату.
В данном случае точки М1, М2 и М3 являются точками положительных полуосей, поэтому и координаты точки М будут положительными числами.
Рассмотрим примеры различного расположения точек в прямоугольной системе координат.
Задание: определить координаты точек А, В, С, D, Е и F.
После выполнения этого задания можно сделать вывод о том, что если точка лежит в некоторой координатной плоскости или на некоторой координатной оси, то её соответствующие координаты будут равны нулю.
Так если точка лежит в координатной плоскости ОИксИгрек, то её аппликата равна нулю. Если точка лежит в координатной плоскости ОИксЗэт, то её ордината равна нулю. И если точка лежит в координатной плоскости ОИгрекЗэт, то её абсцисса равна нулю.
Ну, а в случаях, когда точка лежит на одной из осей, только одна координата является ненулевой.
Задание: По координатам точек 𝐴(3;−1;0), 𝐵(0;0;−7), 𝐶(2;0;0), 𝐷(−4;0;3), 𝐸(0;−1;0), 𝐹(1;2;3), 𝐺(0;5−7), 𝐻(−√5;√3;0) определить, какие из них лежат на той или иной координатной оси или в той или иной координатной плоскости.
Задание: найти координаты проекций точки 𝐴(2;−3;5) на каждую из координатных плоскостей и на каждую из координатных осей.
Далее найдём координаты проекций точки А на координатные плоскости.
Проекцией точки А на координатную плоскость Оху является основание перпендикуляра, проведённого из точки А к данной координатной плоскости. При этом координаты полученной проекции будут такими же как у точки А, только аппликата станет равной нулю.
Аналогично получим проекцию точки А на координатную плоскость Оуz. Проведём перпендикуляр из данной точки к данной координатной плоскости. Его основание и является проекцией точки А на плоскость Оуz. Координаты данной проекции равны координатам точки А, только абсцисса равна нулю.
Ну, а проекция точки А на координатную плоскость Охz будет иметь координаты 2, 0, 5.
Так мы с вами нашли координаты проекций точки А на координатные оси и на координатные плоскости.
Решение: Изобразим прямоугольную систему координат. Отметим точки, являющиеся вершинами куба, координаты которых известны.
На этом уроке вы познакомились с понятием прямоугольной системы координат в пространстве. Узнали, что её задают три взаимно перпендикулярные прямые, на которых выбраны направления и единичные отрезки. Эти прямые называют координатными осями. Точку пересечения осей называют точкой начала координат.
Ось Ох называют осью абсцисс, ось Оу называют осью ординат, и новым для вас является название оси Оz — ось аппликат. Помимо осей координат в прямоугольной системе координат присутствуют и координатные плоскости: Оху, Оуz и Охz.
Всю прямоугольную систему координат в пространстве обозначают Охуz.
Любой точке пространства соответствует только одна тройка чисел х, у и z, которые и являются её координатами. Все координаты точки О начала координат равны нулю.